Sistemi dinamici 1

Il seguente programma va inteso in linea di massima: difficilmente potranno essere svolti tutti gli argomenti elencati; sicuramente verranno affrontati la gran parte dei punti delle prime due parti.

TEORIA DELLE ORBITE PERIODICHE
* Teoria di Poincaré-Bendixson; sezioni locali di Poincaré; insiemi limite e loro proprietà. Esistenza di cicli limite in sistemi di Liénard.
* Metodi di punto fisso; teorema di Brouwer.
* Teorema di Poincarè di continuazione delle orbite periodiche. Calcolo degli autovalori della linearizzazione della mappa di Poincare' e relazione con i moltiplicatori di Floquet.
* Teorema di punto fisso di Poincaré-Birkhoff; esistenza di punti fissi e orbite periodiche per omeomorfismi twist e area-preserving dell'anello in sé. Dinamica dei biliardi.
* Dispersione ed esistenza di soluzioni di tipo breathers in catene nonlineari.
* Orbite periodiche in equazioni a derivate parziali.

CAOS
* Varietà stabile ed instabile. Teorema della varietà stabile.
* Intersezioni omocline, dinamica caotica ed insiemi iperbolici.
* Teorema dell'orbita ombra, chaos in prossimità di intersezioni omocline.
* Descrizione della dinamica caotica per il pendolo forzato con il metodo di Melnikov.

TEORIA DELLA FORMA NORMALE E TEOREMA DI SIEGEL
* Teoria formale. Problema dell'esistenza di una trasformazione di coordinate che riduce un'equazione differenziale alla sua parte lineare. Risonanze. Teorema di Poincaré sull'esistenza di trasformazioni formali che mettono in forma normale un sistema dinamico.
* Piccoli divisori e teorema di Siegel. Domini di Poincare' e di Siegel. Condizioni di alta nonrisonanza di tipo diofanteo e loro generalità. Proprietà dei piccoli divisori: rapporto con l'ordine in domini di Poincare', stime diofantee in insiemi di misura piena. Schema della dimostrazione del teorema di Siegel (schema iterativo formale e andamento "quadratico" delle stime).