Matematica del continuo

Numeri naturali, interi, razionali, reali. Il campo reale e le sue operazioni.
Massimo e minimo di un sottoinsieme dei numeri reali, estremo superiore ed estremo inferiore. I simboli +∞ e -∞. La retta reale.
Confronto tra razionali ed irrazionali.
Numeri complessi: rappresentazione algebrica, rappresentazione trigonometrica, rappresentazione esponenziale. Operazioni tra numeri complessi, radici dell'unità. Teorema fondamentale dell'algebra, decomposizione di polinomi.
Numeri naturali: principio di induzione, proprietà definitivamente vere.
Successioni di numeri reali: rappresentazioni, limitatezza e monotonia.
Limiti di successioni: nozione di limite, unicità del limite, limitatezza delle successioni convergenti, teorema del confronto. Operazioni sui limiti e casi di indecisione, confronto tra infiniti, simboli di Landau e loro utilizzo. Regolarità delle successioni monotone, numero di Nepero.
Limiti di funzioni. Funzioni continue: nozione di continuità ed interpretazione grafica, discontinuità. Continuità e discontinuità delle funzioni elementari: razionali, esponenziali, logaritmi, modulo, gradini, parte intere e frazionarie. Cambio di variabili nei limiti e limite della funzione composta. Teorema degli zeri e Teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale: nozione di derivata, approssimazione lineare e tangente ad una curva. Calcolo della derivata delle funzioni elementari. Punti angolosi e cuspidi. Operazioni con le derivate. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e sue applicazioni. Teorema di De l'Hôpital. Formula di Taylor e sue applicazioni. Problemi di ottimizzazione (massimi e minimi di funzioni).
Calcolo integrale: calcolo delle aree, approssimazione e metodo di esaustione. Integrale di Riemann: definizione di integrale definito, classi di funzioni integrabili, proprietà dell'integrale definito. Teorema della media integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale, formula fondamentale del calcolo integrale.
Integrali indefiniti e metodi di integrazione: integrazione per sostituzione, per parti, di razionali fratte. Integrazione generalizzata o impropria: definizione, esempi notevoli.
Somme finite o sommatorie. Esempi notevoli di sommatorie: potenze di interi e geometriche.
Nozione di serie: esempi notevoli, serie geometrica e serie telescopiche. Condizione necessaria di convergenza, regolarità, criterio del confronto, convergenza assoluta e convergenza semplice. Stima e stima asintotica della rapidità di divergenza o di convergenza di una serie: confronto, confronto asintotico e confronto integrale. Serie armonica generalizzata.
Serie di potenze reali e raggio di convergenza. Serie di Taylor e analiticità. Operazioni algebriche con le serie di potenze, derivazione ed integrazione.
Serie di Fourier per funzioni periodiche e continue a tratti. Teorema di convergenza. Identità di Parseval.
Formula di Eulero.

Numeri naturali, interi, razionali, reali. Il campo reale e le sue operazioni.
Massimo e minimo di un sottoinsieme dei numeri reali, estremo superiore ed estremo inferiore. I simboli +∞ e -∞. La retta reale.
Confronto tra razionali ed irrazionali.
Numeri complessi: rappresentazione algebrica, rappresentazione trigonometrica, rappresentazione esponenziale. Operazioni tra numeri complessi, radici dell'unità. Teorema fondamentale dell'algebra, decomposizione di polinomi.
Numeri naturali: principio di induzione, proprietà definitivamente vere.
Successioni di numeri reali: rappresentazioni, limitatezza e monotonia.
Limiti di successioni: nozione di limite, unicità del limite, limitatezza delle successioni convergenti, teorema del confronto. Operazioni sui limiti e casi di indecisione, confronto tra infiniti, simboli di Landau e loro utilizzo. Regolarità delle successioni monotone, numero di Nepero.
Limiti di funzioni. Funzioni continue: nozione di continuità ed interpretazione grafica, discontinuità. Continuità e discontinuità delle funzioni elementari: razionali, esponenziali, logaritmi, modulo, gradini, parte intere e frazionarie. Cambio di variabili nei limiti e limite della funzione composta. Teorema degli zeri e Teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale: nozione di derivata, approssimazione lineare e tangente ad una curva. Calcolo della derivata delle funzioni elementari. Punti angolosi e cuspidi. Operazioni con le derivate. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e sue applicazioni. Teorema di De l'Hôpital. Formula di Taylor e sue applicazioni. Problemi di ottimizzazione (massimi e minimi di funzioni).
Calcolo integrale: calcolo delle aree, approssimazione e metodo di esaustione. Integrale di Riemann: definizione di integrale definito, classi di funzioni integrabili, proprietà dell'integrale definito. Teorema della media integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale, formula fondamentale del calcolo integrale.
Integrali indefiniti e metodi di integrazione: integrazione per sostituzione, per parti, di razionali fratte. Integrazione generalizzata o impropria: definizione, esempi notevoli.
Somme finite o sommatorie. Esempi notevoli di sommatorie: potenze di interi e geometriche.
Nozione di serie: esempi notevoli, serie geometrica e serie telescopiche. Condizione necessaria di convergenza, regolarità, criterio del confronto, convergenza assoluta e convergenza semplice. Stima e stima asintotica della rapidità di divergenza o di convergenza di una serie: confronto, confronto asintotico e confronto integrale. Serie armonica generalizzata.
Serie di potenze reali e raggio di convergenza. Serie di Taylor e analiticità. Operazioni algebriche con le serie di potenze, derivazione ed integrazione.
Serie di Fourier per funzioni periodiche e continue a tratti. Teorema di convergenza. Identità di Parseval.
Formula di Eulero.