Gruppi di lie
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di fornire le conoscenze di base sui gruppi di Lie e sulle algebre di Lie.
Risultati apprendimento attesi
I risultati di apprendimento attesi sono la conoscenza e la capacità di saper utilizzare i gruppi di Lie e le loro proprità topologiche e differenziali fondamentali.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
GRUPPI di LIE
· Richiami di Geometria differenziale: Campi Vettoriali e flussi associati; · Distribuzioni Involutive e Integrabili e Teorema di Frobenius;
· Definizione di Gruppo di Lie e primi esempi;
· Considerazioni sui rivestimenti di Gruppi di Lie;
· Gruppo fondamentale di gruppi di Lie;
· Algebre di Lie, Campi invarianti a destra e a sinistra; · Teoremi sui gruppi di Lie e algebre: corrispondenze; · Rappresentazione Ad e ad, Forma di Killing;
· Considerazioni sui gruppi di Lie abeliani.
AZIONI DI GRUPPI DI LIE
· Azioni libere e proprie;
· Azioni di gruppi compatti. Gruppi unimodulari. Esistenza di Misure di Haar;
· Il teorema della Slice e idee della dimostrazione;
· Classificazione delle orbite;
· Variet`a simplettiche, richiami su fibrati principali e fibrati associati;
· Azioni Hamiltoniane, mappa momento;
· Riduzioni simplettiche, Teorema di Marsden-Weintein;
· Variet`a Simplettiche Toriche, Teorema di Delzant.
· Richiami di Geometria differenziale: Campi Vettoriali e flussi associati; · Distribuzioni Involutive e Integrabili e Teorema di Frobenius;
· Definizione di Gruppo di Lie e primi esempi;
· Considerazioni sui rivestimenti di Gruppi di Lie;
· Gruppo fondamentale di gruppi di Lie;
· Algebre di Lie, Campi invarianti a destra e a sinistra; · Teoremi sui gruppi di Lie e algebre: corrispondenze; · Rappresentazione Ad e ad, Forma di Killing;
· Considerazioni sui gruppi di Lie abeliani.
AZIONI DI GRUPPI DI LIE
· Azioni libere e proprie;
· Azioni di gruppi compatti. Gruppi unimodulari. Esistenza di Misure di Haar;
· Il teorema della Slice e idee della dimostrazione;
· Classificazione delle orbite;
· Variet`a simplettiche, richiami su fibrati principali e fibrati associati;
· Azioni Hamiltoniane, mappa momento;
· Riduzioni simplettiche, Teorema di Marsden-Weintein;
· Variet`a Simplettiche Toriche, Teorema di Delzant.
Prerequisiti
Gruppo fondamentale, geometria 1,2,3,4
Metodi didattici
Lezioni frontali
Materiale di riferimento
Lie Groups and geometric aspects of isometric actions di R. Bettiol e M. Alexandrino (Springer, Cham, 2015. x+213 pp.)
Note di Podestà e Spiro (si trovano sul sito Ariel del corso) (https://agorigl.ariel.ctu.unimi.it/v5/home/Default.aspx)
Note di Abbena Console Garbiero (si trovano sul sito Ariel del corso)https://agorigl.ariel.ctu.unimi.it/v5/home/Default.aspx
Note di Podestà e Spiro (si trovano sul sito Ariel del corso) (https://agorigl.ariel.ctu.unimi.it/v5/home/Default.aspx)
Note di Abbena Console Garbiero (si trovano sul sito Ariel del corso)https://agorigl.ariel.ctu.unimi.it/v5/home/Default.aspx
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
La verifica dell'apprendimento avviene tramite un esame orale su tutto il programma. Lo studende può, facoltativamente, preparare un seminario su temi suggeriti dal docente, correlati con il corso ma non affrontati durante il corso. In questo caso, durante l'orale, lo studente partirà dall'esposizione del seminario per poi essere interrogato anche su gli altri argomenti trattati durante il corso.
Il voto finale è una valutazione complessiva dell'esposizione e del resto dell'esame
Il voto finale è una valutazione complessiva dell'esposizione e del resto dell'esame