Complementi di matematica e calcolo numerico

Scopo del Calcolo Numerico. Generazione e propagazione degli errori in un processo di calcolo. Condizionamento e stabilità nei problemi matematici, numerici e negli algoritmi. Rappresentazione dei numeri sul calcolatore.

Il problema dell'interpolazione polinomiale. Dimostrazione del teorema di unicità. Costruzione del polinomio di interpolazione con il metodo di Vandermonde e con il metodo di Lagrange. Errore di interpolazione. Controesempio di Runge. Concetto di interpolazione ed estrapolazione. Retta di regressione, metodo dei minimi quadrati nel discreto.

Derivazione numerica: approssimazione della derivata in avanti, all'indietro, formula del punto medio, approssimazione della derivata seconda, richiami sullo sviluppo di Taylor e formula dell'errore.

Formule di quadratura (FQ) per l'approssimazione di integrali definiti: rettangoli, punto medio, trapezi, Cavalieri-Simpson. Formule di quadratura di Newton-Cotes: nodi, pesi, FQ aperte e chiuse, grado di precisione. Formule di quadratura composite; formule dell'errore.

Introduzione all'approssimazione numerica di equazioni differenziali ordinarie. Metodo di Eulero esplicito e implicito: costruzione geometrica, con lo sviluppo di Taylor, mediante approssimazione delle derivate e con formule di quadratura. Metodi di Crank-Nicolson e di Heun. Definizione ed esempi di stabilità e instabilità assoluta, definizione di convergenza.

Approssimazione di zeri di funzione: il metodo di bisezione, di Newton, delle corde e delle secanti. Ordine di convergenza. Test d'arresto. Teorema di convergenza globale del metodo di Newton.

Richiami sui vettori nel piano e nello spazio (R2 e R3): Norme di vettori.

Richiami sulle matrici in R(mxn): diagonali e triangolari, simmetriche, diagonalmente dominanti, simmetriche definite positive. Norme di matrici: definizione, proprietà, norma-1, norma-2 e norma infinito.
Determinante di una matrice 2x2 e 3x3 (regola di Sarrus). Numero di condizionamento di una matrice quadrata. Studio del condizionamento di un sistema lineare nel caso particolare di perturbazione del termine noto. Il metodo di eliminazione di Gauss e la fattorizzazione LU. Metodi iterativi di Jacobi e Gauss-Seidel. Cenni alla localizzazione e approssimazione numerica di autovalori e autovettori.