Complementi di matematica e calcolo numerico
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
Gli obiettivi dell'insegnamento sono: completare le conoscenze di Matematica dello studente, con lo studio di alcuni problemi elementari delle scienze applicate; fornire allo studente le basi delle tecniche numeriche di risoluzione dei problemi matematici di interesse applicativo; fornire allo studente gli strumenti di base necessari per un utilizzo critico e consapevole di software per il calcolo scientifico.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente acquisira' una buona conoscenza dei fondamenti matematici dell'algebra lineare e del calcolo numerico; sara' in grado di inquadrare alcuni problemi matematici di interesse applicativo; sara' in grado di utilizzare correttamente il software per il Calcolo Scientifico per elaborare dati e simulare semplici problemi in ambito chimico.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Scopo del Calcolo Numerico. Generazione e propagazione degli errori in un processo di calcolo. Condizionamento e stabilità nei problemi matematici, numerici e negli algoritmi. Rappresentazione dei numeri sul calcolatore.
Il problema dell'interpolazione polinomiale. Dimostrazione del teorema di unicità. Costruzione del polinomio di interpolazione con il metodo di Vandermonde e con il metodo di Lagrange. Errore di interpolazione. Controesempio di Runge. Concetto di interpolazione ed estrapolazione. Retta di regressione, metodo dei minimi quadrati nel discreto.
Derivazione numerica: approssimazione della derivata in avanti, all'indietro, formula del punto medio, approssimazione della derivata seconda, richiami sullo sviluppo di Taylor e formula dell'errore.
Formule di quadratura (FQ) per l'approssimazione di integrali definiti: rettangoli, punto medio, trapezi, Cavalieri-Simpson. Formule di quadratura di Newton-Cotes: nodi, pesi, FQ aperte e chiuse, grado di precisione. Formule di quadratura composite; formule dell'errore.
Introduzione all'approssimazione numerica di equazioni differenziali ordinarie. Metodo di Eulero esplicito e implicito: costruzione geometrica, con lo sviluppo di Taylor, mediante approssimazione delle derivate e con formule di quadratura. Metodi di Crank-Nicolson e di Heun. Definizione ed esempi di stabilità e instabilità assoluta, definizione di convergenza.
Approssimazione di zeri di funzione: il metodo di bisezione, di Newton, delle corde e delle secanti. Ordine di convergenza. Test d'arresto. Teorema di convergenza globale del metodo di Newton.
Richiami sui vettori nel piano e nello spazio (R2 e R3): Norme di vettori.
Richiami sulle matrici in R(mxn): diagonali e triangolari, simmetriche, diagonalmente dominanti, simmetriche definite positive. Norme di matrici: definizione, proprietà, norma-1, norma-2 e norma infinito.
Determinante di una matrice 2x2 e 3x3 (regola di Sarrus). Numero di condizionamento di una matrice quadrata. Studio del condizionamento di un sistema lineare nel caso particolare di perturbazione del termine noto. Il metodo di eliminazione di Gauss e la fattorizzazione LU. Metodi iterativi di Jacobi e Gauss-Seidel. Cenni alla localizzazione e approssimazione numerica di autovalori e autovettori.
Il problema dell'interpolazione polinomiale. Dimostrazione del teorema di unicità. Costruzione del polinomio di interpolazione con il metodo di Vandermonde e con il metodo di Lagrange. Errore di interpolazione. Controesempio di Runge. Concetto di interpolazione ed estrapolazione. Retta di regressione, metodo dei minimi quadrati nel discreto.
Derivazione numerica: approssimazione della derivata in avanti, all'indietro, formula del punto medio, approssimazione della derivata seconda, richiami sullo sviluppo di Taylor e formula dell'errore.
Formule di quadratura (FQ) per l'approssimazione di integrali definiti: rettangoli, punto medio, trapezi, Cavalieri-Simpson. Formule di quadratura di Newton-Cotes: nodi, pesi, FQ aperte e chiuse, grado di precisione. Formule di quadratura composite; formule dell'errore.
Introduzione all'approssimazione numerica di equazioni differenziali ordinarie. Metodo di Eulero esplicito e implicito: costruzione geometrica, con lo sviluppo di Taylor, mediante approssimazione delle derivate e con formule di quadratura. Metodi di Crank-Nicolson e di Heun. Definizione ed esempi di stabilità e instabilità assoluta, definizione di convergenza.
Approssimazione di zeri di funzione: il metodo di bisezione, di Newton, delle corde e delle secanti. Ordine di convergenza. Test d'arresto. Teorema di convergenza globale del metodo di Newton.
Richiami sui vettori nel piano e nello spazio (R2 e R3): Norme di vettori.
Richiami sulle matrici in R(mxn): diagonali e triangolari, simmetriche, diagonalmente dominanti, simmetriche definite positive. Norme di matrici: definizione, proprietà, norma-1, norma-2 e norma infinito.
Determinante di una matrice 2x2 e 3x3 (regola di Sarrus). Numero di condizionamento di una matrice quadrata. Studio del condizionamento di un sistema lineare nel caso particolare di perturbazione del termine noto. Il metodo di eliminazione di Gauss e la fattorizzazione LU. Metodi iterativi di Jacobi e Gauss-Seidel. Cenni alla localizzazione e approssimazione numerica di autovalori e autovettori.
Prerequisiti
Insiemi numerici. Funzioni elementari. Successioni reali. Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di variabile reale in 1D e 2D. Equazioni differenziali ordinarie. Elementi di calcolo vettoriale e matriciale.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni frontali. Esercitazioni in aula informatizzata.
Materiale di riferimento
[Web site]: https://ariel.unimi.it/
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
[A] oppure [B] (per la parte di lezione e di esercitazione in aula)
[C] (per la parte di esercitazione con MATLAB in laboratorio informatico)
[A]: È possibile sostenere due prove in itinere (scritte) nel corso del secondo semestre: la prima indicativamente nelle prime due settimane di aprile, la seconda indicativamente nelle prime due settimane di giugno. L'esito complessivo delle due prove in itinere sarà comunicato prima dell'appello di giugno. Le prove in itinere si intendono superate se in ognuna si totalizza un punteggio di almeno 14/24. In caso contrario si veda il punto [B]. Il voto complessivo delle prove in itinere è dato dalla media dei due voti. Il punteggio massimo di ciascuna prova in itinere è 24.
[B]: Prova scritta durante gli appelli d'esame nelle sessioni previste dal Collegio Didattico: gennaio, febbraio, giugno, luglio, settembre, novembre. La prova scritta si intende superata se il punteggio è maggiore o uguale a 14/24. Il punteggio massimo della prova scritta è 24.
[A] o [B]: Ciascuna delle due prove in itinere [A] e la prova scritta [B] di ciascun appello sono composte da 4 quesiti di teoria a risposta multipla (punteggio massimo 4) e da 6 esercizi (punteggio massimo 20). Non sono previsti punteggi negativi in caso di risposte errate. La durata di ciascuna prova in itinere e della prova scritta è di 75 minuti.
[C]: La prova al calcolatore è composta da 4 esercizi da svolgere esclusivamente in linguaggio MATLAB. Può essere sostenuta solo durante gli usuali appelli. La prova al calcolatore deve essere sostenuta negli appelli di giugno, luglio o settembre per gli studenti che hanno superato le prove in itinere [A] ed obbligatoriamente nel medesimo appello in cui è stata sostenuta la prova scritta [B] per gli altri studenti. Gli studenti che hanno superato le prove in itinere e non hanno sostenuto o superato la prova al calcolatore nell'appello di giugno potranno sostenerla nell'appello di luglio o settembre. Gli studenti che hanno superato le prove in itinere e non hanno sostenuto o superato la prova al calcolatore nell'appello di luglio potranno ripeterla nell'appello di settembre. La prova al calcolatore si intende superata se il punteggio è maggiore o uguale a 4/8.
Entrambe le prove, scritta ed al calcolatore, devono essere sostenute nel medesimo appello, ad eccezione di quanto scritto per gli studenti che hanno superato le prove in itinere.
Il VOTO FINALE (max 24+8=32) è dato dalla somma dei punteggi delle prove [A] oppure [B] e della prova [C]. Se la somma dei punteggi è superiore a 30, a discrezione della commissione può essere assegnata la lode.
Nel caso in cui si rifiuti il voto complessivo ("Prove in itinere o Scritto"+"MATLAB"), si dovranno ripetere sia la prova scritta [B] che la prova MATLAB [C] in uno qualunque degli appelli successivi.
È INDISPENSABILE L'ISCRIZIONE AGLI APPELLI D'ESAME TRAMITE SIFA/UNIMIA, anche nel caso in cui si debba sostenere solo la prova al calcolatore.
Le indicazioni relative alla data, orario, aula delle singole prove saranno pubblicate sulla pagina ARIEL del corso.
Non è consentito consultare alcun tipo di materiale (appunti, libri, ecc...) durante lo svolgimento delle prove.
Eventuali file necessari per lo svolgimento della prova MATLAB saranno forniti dalla Commissione durante la prova d'esame. La lista dei file è pubblicata sulla pagina ARIEL.
[C] (per la parte di esercitazione con MATLAB in laboratorio informatico)
[A]: È possibile sostenere due prove in itinere (scritte) nel corso del secondo semestre: la prima indicativamente nelle prime due settimane di aprile, la seconda indicativamente nelle prime due settimane di giugno. L'esito complessivo delle due prove in itinere sarà comunicato prima dell'appello di giugno. Le prove in itinere si intendono superate se in ognuna si totalizza un punteggio di almeno 14/24. In caso contrario si veda il punto [B]. Il voto complessivo delle prove in itinere è dato dalla media dei due voti. Il punteggio massimo di ciascuna prova in itinere è 24.
[B]: Prova scritta durante gli appelli d'esame nelle sessioni previste dal Collegio Didattico: gennaio, febbraio, giugno, luglio, settembre, novembre. La prova scritta si intende superata se il punteggio è maggiore o uguale a 14/24. Il punteggio massimo della prova scritta è 24.
[A] o [B]: Ciascuna delle due prove in itinere [A] e la prova scritta [B] di ciascun appello sono composte da 4 quesiti di teoria a risposta multipla (punteggio massimo 4) e da 6 esercizi (punteggio massimo 20). Non sono previsti punteggi negativi in caso di risposte errate. La durata di ciascuna prova in itinere e della prova scritta è di 75 minuti.
[C]: La prova al calcolatore è composta da 4 esercizi da svolgere esclusivamente in linguaggio MATLAB. Può essere sostenuta solo durante gli usuali appelli. La prova al calcolatore deve essere sostenuta negli appelli di giugno, luglio o settembre per gli studenti che hanno superato le prove in itinere [A] ed obbligatoriamente nel medesimo appello in cui è stata sostenuta la prova scritta [B] per gli altri studenti. Gli studenti che hanno superato le prove in itinere e non hanno sostenuto o superato la prova al calcolatore nell'appello di giugno potranno sostenerla nell'appello di luglio o settembre. Gli studenti che hanno superato le prove in itinere e non hanno sostenuto o superato la prova al calcolatore nell'appello di luglio potranno ripeterla nell'appello di settembre. La prova al calcolatore si intende superata se il punteggio è maggiore o uguale a 4/8.
Entrambe le prove, scritta ed al calcolatore, devono essere sostenute nel medesimo appello, ad eccezione di quanto scritto per gli studenti che hanno superato le prove in itinere.
Il VOTO FINALE (max 24+8=32) è dato dalla somma dei punteggi delle prove [A] oppure [B] e della prova [C]. Se la somma dei punteggi è superiore a 30, a discrezione della commissione può essere assegnata la lode.
Nel caso in cui si rifiuti il voto complessivo ("Prove in itinere o Scritto"+"MATLAB"), si dovranno ripetere sia la prova scritta [B] che la prova MATLAB [C] in uno qualunque degli appelli successivi.
È INDISPENSABILE L'ISCRIZIONE AGLI APPELLI D'ESAME TRAMITE SIFA/UNIMIA, anche nel caso in cui si debba sostenere solo la prova al calcolatore.
Le indicazioni relative alla data, orario, aula delle singole prove saranno pubblicate sulla pagina ARIEL del corso.
Non è consentito consultare alcun tipo di materiale (appunti, libri, ecc...) durante lo svolgimento delle prove.
Eventuali file necessari per lo svolgimento della prova MATLAB saranno forniti dalla Commissione durante la prova d'esame. La lista dei file è pubblicata sulla pagina ARIEL.
MAT/01 - LOGICA MATEMATICA
MAT/02 - ALGEBRA
MAT/03 - GEOMETRIA
MAT/04 - MATEMATICHE COMPLEMENTARI
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
MAT/06 - PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA
MAT/07 - FISICA MATEMATICA
MAT/08 - ANALISI NUMERICA
MAT/09 - RICERCA OPERATIVA
MAT/02 - ALGEBRA
MAT/03 - GEOMETRIA
MAT/04 - MATEMATICHE COMPLEMENTARI
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
MAT/06 - PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA
MAT/07 - FISICA MATEMATICA
MAT/08 - ANALISI NUMERICA
MAT/09 - RICERCA OPERATIVA
Laboratori: 24 ore
Lezioni: 36 ore
Lezioni: 36 ore
Turni:
Docente:
Zampieri Elena
Corso A
Docente:
Scacchi SimoneSiti didattici
Docente/i