Argomenti avanzati di analisi reale

Lo scopo del corso è di fornire una trattazione moderna e robusta della teoria della misura e dell'integrazione, e della differenziabilità di funzioni, iniziate nei corsi di Analisi Matematica 4 e Analisi Reale. In particolare, ci si propone di descrivere la generalizzazione dei teoremi fondamentali del calcolo a campi vettoriali debolmente differenziabili ed insiemi non lisci in ambiente euclideo, fornendo una introduzione sistematica alla Teoria Geometrica della Misura. In quest'ottica, si studieranno la differenziabilità quasi ovunque delle mappe lipschitziane, l'esistenza quasi ovunque di spazi tangenti ad insiemi rettificabili, la teoria degli insiemi di perimetro finito e delle funzioni a variazione limitata in dimensione arbitraria. Inoltre, si mostreranno applicazioni classiche della Teoria Geometrica della Misura alla risoluzione di alcuni problemi variazionali di carattere geometrico, e si fornirà una introduzione alla teoria della regolarità e l'analisi delle singolarità delle soluzioni, con particolare enfasi sulla teoria debole delle superfici minime.

Conoscenza delle nozioni e delle tecniche di base di Teoria Geometrica della Misura in R^n: mappe Lipschitz, insiemi rettificabili, formule di area e coarea e applicazioni, teoria delle funzioni BV e degli insiemi di perimetro finito, densità e coni tangenti, formule di variazione del perimetro e regolarità parziale degli insiemi di perimetro minimo.