Analisi matematica 1

L'insegnamento si propone di fornire allo studente un'introduzione ed un primo approfondimento della conoscenza dell'Analisi
Matematica (essenziale per uno studente di fisica) che continuerà nei corsi di Analisi Matematica 2 e 3. Saranno trattati con rigore
metodologico e precisione alcuni concetti basilari, con particolare riferimento a: numeri reali, in quanto campo ordinato completo con
la cardinalità del continuo; spazi metrici (incluso il campo reale), come ambiente astratto e generale per la formulazione robusta della
nozione di limite di successioni; limiti e continuità di funzioni tra spazi metrici (fondamentale per lo sviluppo del calcolo differenziale
ed integrale in spazi euclidei); nel caso specifico e rilevante del campo reale, convergenza di successioni e serie numeriche, calcolo
differenziale per funzioni reali di una variabile reale ed applicazioni allo studio qualitativo di funzioni.

1.Conoscenza e comprensione del concetto di campo ordinato completo con cardinalità del continuo.
2.Conoscenza e comprensione del concetto di spazio metrico ed elementi della sua topologia (classificazione di punti ed insiemi).
3.Conoscenza e comprensione del concetto di limite di successioni in spazi metrici (unicità del limite, condizioni necessarie per la
convergenza).
4.Conoscenza e comprensione del concetto di limite per successioni reali e strumenti per il calcolo (regolarità di successioni
monotone, criteri del confronto, proprietà algebriche, simboli di Landau e confronto tra infiniti, infinitesimi).
5.Conoscenza e comprensione del concetto di convergenza e divergenza di serie numeriche (modalità diverse di convergenza e loro
relazioni).
6.Conoscenza e comprensione degli strumenti per stabilire il carattere di una serie numerica (criterio di Cauchy, del rapporto, del
confronto, della condensazione, di Leibniz, ad esempio)
7.Conoscenza e comprensione dei concetti di limite e continuità per funzioni tra spazi metrici.
8.Conoscenza e comprensione delle proprietà delle funzioni continue (esistenza di soluzioni di equazioni in termini di funzioni reali,
esistenza di massimi e minimi di funzioni reali su insiemi compatti, proprietà dei valori intermedi per funzioni reali).
9.Conoscenza e comprensione della differenziabilità di funzioni reali di una variabile reale (significato geometrico e cinematico della
prima e seconda derivata).
10.Conoscenza e comprensione delle regole di calcolo per le derivate (proprietà algebriche, funzioni composte ed inverse).
11.Conoscenza e comprensione delle applicazioni del calcolo differenziale in una variabile reale (monotonia, convessità, estremi locali,
studio qualitativo di una funzione data).
12.Capacità di enunciare correttamente le definizioni ed i teoremi principali.
- 2 -
13.Capacità di ragionamento astratto in un contesto concreto.
14.Capacità di eseguire correttamente e velocemente i calcoli nello svolgimento degli esercizi assegnati durante le prove scritte.
15.Capacità di sintesi ed analisi critica dei concetti studiati e delle loro interazioni.
16.Capacità critica di valorizzazione degli strumenti forniti e dei concetti sviluppati nel contesto dello studio della fisica.
17.Capacità di condurre in modo preciso ed adeguato una discussione sui contenuti e sul significato della materia in seduta di prova
orale finale.
18.Capacità di proseguire in modo autonomo nello studio approfondito nei corsi successivi.
19.Capacità di lavorare in gruppo durante le esercitazioni e le attività di tutoraggio proposte, e nella preparazione delle prove scritte e orali.