Topologia differenziale
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
Scopo del corso è illustrare i risultati principali e fornire alcune delle tecniche proprie della topologia differenziale.
Risultati apprendimento attesi
Saper utilizzare alcune tecniche proprie della topologia differenziale sulla varietà differenziabili.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
La topologia differenziale è lo studio della topologia delle varietà mediante invarianti definiti a partire da una struttura differenziabile. I metodi della topologia differenziale sono diffusamente utilizzati in topologia e in geometria differenziale e algebrica. Si riporta qui sotto il programma svolto nell'anno accademico 2023-24. Nell'a.a. corrente il corso potrà subire modifiche.
Programma svolto nell a.a. 2023/24:
- fibrati vettoriali su varietà;
- i fibrati come pull-back del fibrato tautologico sulla grassmanniana
- isomorfismo di Thom, classe di Thom
- il duale di Poincarè di una sottovarietà
- trasversalità e intersezioni trasverse di sottovarietà
- enunciato del teorema di Sard
- stabilità e genericità della trasversalità
- la classe di Eulero di un fibrato vettoriale reale e orientato;
- la classe di Eulero e sezioni trasverse di un fibrato;
- il teorema di Poincarè-Hopf sugli zeri di un campo di vettori;
- connessioni su fibrati vettoriali e curvatura;
- polinomi invarianti e costruzione delle classi caratteristiche;
- classi e caratteri di Chern e loro proprietà fondamentali;
- classi di Pontryagin;
- classi di Chern e Pontryagin dello spazio proiettivo complesso;
- cenni su classi di Pontryagin e cobordismo;
- la classe di Eulero come Pfaffiano della curvatura;
- il teorema di Gauss-Bonnet generalizzato;
- calcolo dei numeri di Betti di una ipersuperficie algebrica complessa.
Programma svolto nell a.a. 2023/24:
- fibrati vettoriali su varietà;
- i fibrati come pull-back del fibrato tautologico sulla grassmanniana
- isomorfismo di Thom, classe di Thom
- il duale di Poincarè di una sottovarietà
- trasversalità e intersezioni trasverse di sottovarietà
- enunciato del teorema di Sard
- stabilità e genericità della trasversalità
- la classe di Eulero di un fibrato vettoriale reale e orientato;
- la classe di Eulero e sezioni trasverse di un fibrato;
- il teorema di Poincarè-Hopf sugli zeri di un campo di vettori;
- connessioni su fibrati vettoriali e curvatura;
- polinomi invarianti e costruzione delle classi caratteristiche;
- classi e caratteri di Chern e loro proprietà fondamentali;
- classi di Pontryagin;
- classi di Chern e Pontryagin dello spazio proiettivo complesso;
- cenni su classi di Pontryagin e cobordismo;
- la classe di Eulero come Pfaffiano della curvatura;
- il teorema di Gauss-Bonnet generalizzato;
- calcolo dei numeri di Betti di una ipersuperficie algebrica complessa.
Prerequisiti
Nel corso si assumerà una certa familiarità con le nozioni di varietà differenziabile, spazio tangente, campi vettoriali, forme differenziali, integrazione su varietà e teorema di Stokes. Si presupporrà anche che lo studente abbia visto la definizione di coomologia di de Rham, con alcuni esempi di calcolo.
Metodi didattici
Lezioni frontali tradizionali.
Materiale di riferimento
Le lezioni saranno ispirate da alcuni dei testi classici della topologia differenziale. Alcuni di questi sono:
- Differential topology, V. Guillemin e A. Pollack, AMS Chelsea Pubblishing
- Characteristic Classes, J. Milnor e J. Stasheff, Princeton University Press
- Differential Forms in Algebraic Topology, R. Bott e L. W. Tu, GTM Springer
- Differential Geometry, L. W. Tu, GTM Springer
- From Calculus to Cohomology, I. Madsen e J. Tornehave, Cambridge University Press
- Morse Theory, John Milnor, Princeton University Press
- Differential topology, V. Guillemin e A. Pollack, AMS Chelsea Pubblishing
- Characteristic Classes, J. Milnor e J. Stasheff, Princeton University Press
- Differential Forms in Algebraic Topology, R. Bott e L. W. Tu, GTM Springer
- Differential Geometry, L. W. Tu, GTM Springer
- From Calculus to Cohomology, I. Madsen e J. Tornehave, Cambridge University Press
- Morse Theory, John Milnor, Princeton University Press
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame sarà orale, in parte basato sulla discussione di esercizi assegnati durante le lezioni.
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente:
Matessi Diego
Turni:
Turno
Docente:
Matessi DiegoDocente/i