Teoria delle categorie
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di fornire una introduzione alla Teoria delle Categorie, con particolare attenzione alla sua valenza unificante e al suo impiego in algebra, logica e topologia.
Risultati apprendimento attesi
Acquisire e padroneggiare le nozioni fondamentali di teoria delle categorie, essendo in grado di utilizzarle nei vari campi di applicazione.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Prerequisiti
L'insegnamento non prevede specifici prerequisiti
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta e una prova orale.
- Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta atti a verificare la capacità di risolvere problemi di Teoria delle categorie. La durata della prova scritta è di norma di 2 ore.
- Alla prova orale accedono solo gli Studenti che hanno superato la prova scritta. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche problema di Teoria delle categorie, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
- Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta atti a verificare la capacità di risolvere problemi di Teoria delle categorie. La durata della prova scritta è di norma di 2 ore.
- Alla prova orale accedono solo gli Studenti che hanno superato la prova scritta. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche problema di Teoria delle categorie, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Teoria delle categorie (prima parte)
Programma
Categorie, funtori, trasformazioni naturali. Proprietà universali, limiti e colimiti. Aggiunzioni, equivalenze. Funtori rappresentabili e Lemma di Yoneda. Monadi e algebre per una monade, funtori monadici. Categorie monoidali e monoidali chiuse. Monoidi in una categoria monoidale. Categorie regolari e Barr-esatte. Categorie additive. Categorie abeliane. Topos elementari.
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Materiale di riferimento
S. Mac Lane: Categories for the working mathematician, Springer, 1997, 2nd edition
S. Awodey: Category theory, Oxford University Press, 2006
J. Adamek, H. Herrlich, G. Strecker: Abstract and concrete categories, Wiley
Interscience Publ. 1990. http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/17/tr17.pdf
T. Leinster, Basic Category Theory, Cambridge University Press, 24/lug/2014
F. Borceux: Handbook of categorical algebra, 1-2-3, Cambridge University
Press, 1994
Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke Sheaves in geometry and logic. A first introduction to topos theory. Corrected reprint of the 1992 edition. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1994.
S. Awodey: Category theory, Oxford University Press, 2006
J. Adamek, H. Herrlich, G. Strecker: Abstract and concrete categories, Wiley
Interscience Publ. 1990. http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/17/tr17.pdf
T. Leinster, Basic Category Theory, Cambridge University Press, 24/lug/2014
F. Borceux: Handbook of categorical algebra, 1-2-3, Cambridge University
Press, 1994
Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke Sheaves in geometry and logic. A first introduction to topos theory. Corrected reprint of the 1992 edition. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1994.
Teoria delle categorie (seconda parte)
Programma
Alcuni argomenti tra i seguenti:
- condizioni di monadicità
- categorie algebriche e loro caratterizzazione
- categorie arricchite
- coalgebre e bialgebre
- topos di Grothendieck
-proprietà interne a topos elementari
- condizioni di monadicità
- categorie algebriche e loro caratterizzazione
- categorie arricchite
- coalgebre e bialgebre
- topos di Grothendieck
-proprietà interne a topos elementari
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Materiale di riferimento
S. Mac Lane: Categories for the working mathematician, Springer, 1997, 2nd edition
S. Awodey: Category theory, Oxford University Press, 2006
J. Adamek, H. Herrlich, G. Strecker: Abstract and concrete categories, Wiley
Interscience Publ. 1990. http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/17/tr17.pdf
T. Leinster, Basic Category Theory, Cambridge University Press, 24/lug/2014
F. Borceux: Handbook of categorical algebra, 1-2-3, Cambridge University
Press, 1994
Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke Sheaves in geometry and logic. A first introduction to topos theory. Corrected reprint of the 1992 edition. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1994.
S. Awodey: Category theory, Oxford University Press, 2006
J. Adamek, H. Herrlich, G. Strecker: Abstract and concrete categories, Wiley
Interscience Publ. 1990. http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/17/tr17.pdf
T. Leinster, Basic Category Theory, Cambridge University Press, 24/lug/2014
F. Borceux: Handbook of categorical algebra, 1-2-3, Cambridge University
Press, 1994
Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke Sheaves in geometry and logic. A first introduction to topos theory. Corrected reprint of the 1992 edition. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1994.
Moduli o unità didattiche
Teoria delle categorie (prima parte)
MAT/01 - LOGICA MATEMATICA
MAT/02 - ALGEBRA
MAT/03 - GEOMETRIA
MAT/04 - MATEMATICHE COMPLEMENTARI
MAT/02 - ALGEBRA
MAT/03 - GEOMETRIA
MAT/04 - MATEMATICHE COMPLEMENTARI
Esercitazioni: 12 ore
Lezioni: 35 ore
Lezioni: 35 ore
Docenti:
Mantovani Sandra, Montoli Andrea
Teoria delle categorie (seconda parte)
MAT/01 - LOGICA MATEMATICA
MAT/02 - ALGEBRA
MAT/03 - GEOMETRIA
MAT/04 - MATEMATICHE COMPLEMENTARI
MAT/02 - ALGEBRA
MAT/03 - GEOMETRIA
MAT/04 - MATEMATICHE COMPLEMENTARI
Esercitazioni: 12 ore
Lezioni: 14 ore
Lezioni: 14 ore
Docente:
Montoli Andrea
Docente/i
Ricevimento:
Giovedì 12.45-14.15, su appuntamento
Studio 1019, I Piano, Dipartimento di Matematica, Via Saldini, 50
Ricevimento:
su appuntamento via e-mail
studio 1014, Via Saldini 50