Superfici algebriche
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di fornire agli studenti le nozioni di morfismi birazionali e modelli minimali di superfici, con le quali ottenere la classificazione delle superfici algebriche per poi studiarne le proprieta' geometriche
Risultati apprendimento attesi
Lo studente imparera' i primi risultati di geometria birazionale, in particolare riguardanti il problema della classificazione birazionale delle varieta'. Si acquisiranno inoltre tecniche per la costruzione e lo studio delle varieta' proiettive.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Materiale di base
Varietà, sottovarietà; divisori e fasci in rette; fasci in rette, sezioni, e mappe razionali.
Il fascio canonico; dualità di Serre.
Positività
Fasci in rette ampi e loro proprietà: lo svanimento di Serre e sue conseguenze.
Nozioni di base sulla teoria delle intersezioni: definizione e prime proprietà; il gruppo di Néron-Severi e l'equivalenza numerica; il teorema dell'indice di Hodge.
Coni e caratterizzazioni delle proprietà di positività: criterio di Nakai-Moishezon-Kleiman; crescita dei gruppi di coomologia; divisori con coefficienti in R e Q; teorema di Kleiman; il cono delle curve effettive; cono ampio e cono nef; dualità tra coni e criterio di Kleiman; struttura del cono nef/cono delle curve effettive; teorema del cono; nefness e ampleness nelle famiglie.
Divisori big: Teorema di Iitaka; divisori big e loro caratterizzazioni; il cono dei divisori effettivi.
Superfici
Fondamenti della teoria delle superfici algebriche proiettive: curve su una superficie; teorema di Riemann-Roch, formula di Noether; formula del genere.
Mappe birazionali e modelli minimi: mappe razionali e sistemi lineari; mappe birazionali; blowing-up e loro proprietà; invarianti birazionali; teorema di Castelnuovo; modelli minimi; dimensione di Kodaira e classificazione sebbene invarianti birazionali.
Esempi: superfici con dimensione di Kodaira negativa: blow up di P^2 e superfici del Pezzo; superfici con dimensione di Kodaira banale: intersezioni complete, doppie coperture di P^2, superfici ellittiche e superfici abeliane; superfici con dimensione di Kodaira uguale a 1: superfici ellittiche; superfici di tipo generale: intersezioni complete, doppie coperture di P^2, superficie di Godeaux.
Varietà, sottovarietà; divisori e fasci in rette; fasci in rette, sezioni, e mappe razionali.
Il fascio canonico; dualità di Serre.
Positività
Fasci in rette ampi e loro proprietà: lo svanimento di Serre e sue conseguenze.
Nozioni di base sulla teoria delle intersezioni: definizione e prime proprietà; il gruppo di Néron-Severi e l'equivalenza numerica; il teorema dell'indice di Hodge.
Coni e caratterizzazioni delle proprietà di positività: criterio di Nakai-Moishezon-Kleiman; crescita dei gruppi di coomologia; divisori con coefficienti in R e Q; teorema di Kleiman; il cono delle curve effettive; cono ampio e cono nef; dualità tra coni e criterio di Kleiman; struttura del cono nef/cono delle curve effettive; teorema del cono; nefness e ampleness nelle famiglie.
Divisori big: Teorema di Iitaka; divisori big e loro caratterizzazioni; il cono dei divisori effettivi.
Superfici
Fondamenti della teoria delle superfici algebriche proiettive: curve su una superficie; teorema di Riemann-Roch, formula di Noether; formula del genere.
Mappe birazionali e modelli minimi: mappe razionali e sistemi lineari; mappe birazionali; blowing-up e loro proprietà; invarianti birazionali; teorema di Castelnuovo; modelli minimi; dimensione di Kodaira e classificazione sebbene invarianti birazionali.
Esempi: superfici con dimensione di Kodaira negativa: blow up di P^2 e superfici del Pezzo; superfici con dimensione di Kodaira banale: intersezioni complete, doppie coperture di P^2, superfici ellittiche e superfici abeliane; superfici con dimensione di Kodaira uguale a 1: superfici ellittiche; superfici di tipo generale: intersezioni complete, doppie coperture di P^2, superficie di Godeaux.
Prerequisiti
Assumeremo le necessarie competenze di base di geometria e topologia che fanno riferimento ai corsi della Laurea Triennale in Matematica.
Inoltre, è fortemente consigliata la conoscenza pregressa delle varietà complesse (alternativamente, delle varietà algebriche proiettive sul campo dei numeri comple), dei fibrati lineari su di esse, e loro coomologia -- come illustrato, per esempio, nel corso di Varietà Complesse o nel corso di Geometria degli Schemi della Laurea Magistrale in Matematica.
Inoltre, è fortemente consigliata la conoscenza pregressa delle varietà complesse (alternativamente, delle varietà algebriche proiettive sul campo dei numeri comple), dei fibrati lineari su di esse, e loro coomologia -- come illustrato, per esempio, nel corso di Varietà Complesse o nel corso di Geometria degli Schemi della Laurea Magistrale in Matematica.
Metodi didattici
Lezione frontale in presenza, ed esercitazioni.
Materiale di riferimento
Pagina MyAriel del corso e materiali ivi riportati.
I contenuti del corso sono trattati in vari testi. Eccone un sottoinsieme dove sarà possibile trovare ed approfondire gli argomenti svolti in classe.
Prima Parte (Positività per varietà algebriche):
- R. Lazarsfeld. Positivity in algebraic geometry, Volume 1.
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Folge, 48, Springer-Verlag, Berlin, 2004.
- J. Kollár and S. Mori. Birational geometry of algebraic varieties.
Cambridge Tracts in Math., 134, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
Seconda Parte (Classificazione delle superfici algebriche):
- W. Barth, K. Hulek, C. Peters, A. van de Ven. Compact complex surfaces. Second edition.
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, 4. Springer-Verlag, Berlin, 2004.
- A. Beauville, Complex Algebraic Surfaces. Second Edition.
London Math. Soc. Stud. Texts, 34. Cambridge Univ. Press, 1996.
- M. Reid, Chapters on Algebraic Surfaces.
Contenuto in J. Kollár (ed.), Complex Algebraic Geometry, IAS/Park City Math. Ser., vol. 3, Amer. Math. Soc., Providence R.I., 1997.
I contenuti del corso sono trattati in vari testi. Eccone un sottoinsieme dove sarà possibile trovare ed approfondire gli argomenti svolti in classe.
Prima Parte (Positività per varietà algebriche):
- R. Lazarsfeld. Positivity in algebraic geometry, Volume 1.
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Folge, 48, Springer-Verlag, Berlin, 2004.
- J. Kollár and S. Mori. Birational geometry of algebraic varieties.
Cambridge Tracts in Math., 134, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
Seconda Parte (Classificazione delle superfici algebriche):
- W. Barth, K. Hulek, C. Peters, A. van de Ven. Compact complex surfaces. Second edition.
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, 4. Springer-Verlag, Berlin, 2004.
- A. Beauville, Complex Algebraic Surfaces. Second Edition.
London Math. Soc. Stud. Texts, 34. Cambridge Univ. Press, 1996.
- M. Reid, Chapters on Algebraic Surfaces.
Contenuto in J. Kollár (ed.), Complex Algebraic Geometry, IAS/Park City Math. Ser., vol. 3, Amer. Math. Soc., Providence R.I., 1997.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consisterà di una parte scritta ed una prova orale.
La parte scritta consisterà di una serie di esercizi che lo studente dovrà consegnare al docente prima dello svolgimento della prova orale, secondo le modalità che il docente indicherà in corrispondenza di ogni appello. Gli esercizi saranno scelti dallo studento tra alcuni di quelli proposti dal docente all'interno delle esercitazioni del corso. Il docente indicherà chiaramente quali esercizi faranno parte della parte scritta dell'esame.
Il voto della parte scritta dell'esame costituirà il 30% del voto finale.
Durante la prova orale, lo studente dovrà esporre alcuni risultati del programma dell'insegnamento, e rispondere a domande specifiche poste dal docente su argomenti o esempi illustrati all'interno del programma del corso.
Il voto della parte orale dell'esame costituirà il 70% del voto finale.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
La parte scritta consisterà di una serie di esercizi che lo studente dovrà consegnare al docente prima dello svolgimento della prova orale, secondo le modalità che il docente indicherà in corrispondenza di ogni appello. Gli esercizi saranno scelti dallo studento tra alcuni di quelli proposti dal docente all'interno delle esercitazioni del corso. Il docente indicherà chiaramente quali esercizi faranno parte della parte scritta dell'esame.
Il voto della parte scritta dell'esame costituirà il 30% del voto finale.
Durante la prova orale, lo studente dovrà esporre alcuni risultati del programma dell'insegnamento, e rispondere a domande specifiche poste dal docente su argomenti o esempi illustrati all'interno del programma del corso.
Il voto della parte orale dell'esame costituirà il 70% del voto finale.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente:
Svaldi Roberto
Turni:
Turno
Docente:
Svaldi RobertoDocente/i
Ricevimento:
Su appuntamento (da fissare per email)
Studio 2102, Dipartimento di Matematica "F. Enriques", Via Saldini 50