Sistemi hamiltoniani 1

Il corso si propone di trattare gli aspetti qualitativi della dinamica dei sistemi Hamiltoniani sia finito che infinito dimensionali. Si compone sostanzialmente di tre parti: (1) teoria classica e sistemi integabili, (2) teoria delle perturbazioni per sistemi finito dimensionali e piccoli divisori, (3) teoria delle perturbazioni per sistemi con infiniti gradi di libertà.
Nella prima parte verranno presentati alcuni risultati classici databili dalla seconda metà dell''800 fino agli anni 60 del '900, nella seconda parte verranno introdotti i capisaldi della teoria teoria delle perturbazion dei sistemi finito dimensionali databili dall'inizio del '900, fino all'inizio degli anni '90 del '900.
Più in dettaglio.
1.1 Formulazione Hamiltoniana delle equazioni di un sistema Hamiltoniano, trasformazioni canoniche, relazione tra costanti del moto e simmetrie,
1.2 Teorema di Liouville-Arnold-Jost: uso delle costanti del moto per integrare le equazioni, dinamica di un sistema integrabile come flusso lineare su un toro, variabili angolo azione.
1.3 Costruzione esplicita delle variabili angolo azione per alcuni sistemi significativi

2.1 Forma normale di Birkhoff, piccoli divisori, stabilità su tempi lunghi della dinamica in perturbazioni di sistemi non risonanti, comportamento di sistemi risonanti (battimenti non lineari).

2.2 Teoria delle perturbazioni per sistemi integrabili: densità delle risonanze, teorema di Poincaré di non esistenza delle costanti del moto, teorema di Nekhoroshev per la stabilità su tempi esponenziali (dimostrazione alla Lochak). Cenni alla teoria KAM. Applicazioni ad alcuni problemi significativi tra cui la precessione del perielio di Mercurio.

Nella terza parte si introdurranno alcuni elementi utili per estendere la teoria delle perturbazioni a sistemi infinito dimensionale, in particolare per sistemi di particelle al limite termodinamico. Si discuteranno i fondamenti dinamici della meccanica statistica, e la metastabilità nel modello di Fermi Pasta Ulam e più in generale in sistemi composti da molte particelle

1. Integratori simplettici; proprietà generali ed implementazione al calcolatore con integrazione di sistemi Hamiltoniani.
2. Costruzione perturbativa esplicita di integrali primi approssimati e/o di forme normali, tramite tecniche di manipolazione simbolica.