Relatività 1

1. UN ESAME CRITICO DEL MODELLO SPAZIO-TEMPORALE NEWTONIANO.
Spazio e tempo assoluti. Osservatori. Osservatori inerziali. Incompatibilità tra la nozione di quiete assoluta e il principio di relatività galileiano.
2. IL MODELLO SPAZIO-TEMPORALE GALILEIANO.
Lo spazio-tempo come fibrato sul tempo assoluto. Osservatori.
Osservatori inerziali. Struttura affine quadridimensionale dello spazio-tempo.
Implementazione del principio di relatività galileiano.
3. LA TEORIA DELLA RELATIVITA' RISTRETTA.
La propagazione della luce, l'esperimento di Michelson-Morley e la crisi del modello spazio-temporale galileiano.
I postulati della relatività ristretta. Osservatori inerziali. Teorema di Aleksandrov. Le funzioni di transizione tra le descrizioni spazio-temporali di osservatori inerziali distinti ( "trasformazioni di Lorentz"). Gli effetti di "contrazione delle lunghezze" e "dilatazione dei tempi" previsti da tali trasformazioni. Osservazione della dilatazione dei tempi nel decadimento di particelle elementari.
Lo spazio-tempo di Minkowski, con la sua struttura affine e pseudo-euclidea. Vettori di tipo spaziale, temporale e luce. Tempo proprio.
Linea di universo di una particella o di un segnale luminoso. Trivelocità della particella o del segnale rispetto ad un osservatore inerziale. Confronto delle trivelocità secondo osservatori inerziali distinti. Il fenomeno della aberrazione per i segnali luminosi.
Integrazione del tempo proprio lungo la linea di universo di una particella. Comportamento degli orologi secondo la teoria della relatività ristretta. Paradosso dei gemelli.
Cinematica quadridimensionale: quadrivelocità e quadriaccelerazione di una particella.
Dinamica relativistica della particella: formulazione intrinseca e descrizione secondo un osservatore inerziale. Risoluzione delle equazioni di moto in casi semplici. Conservazione del quadriimpulso nei sistemi isolati. Quadriimpulso di un fotone.
Le equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico: formulazione intrinseca mediante il calcolo differenziale esterno e la dualità di Hodge, e punto di vista di un osservatore inerziale. Soluzioni delle equazioni di Maxwell: le onde piane monocromatiche e le loro sovrapposizioni, i potenziali ritardati e avanzati. Effetto Doppler.
Il tensore energia- impulso: considerazioni generali e descrizione specifica nei casi della fluidodinamica e dell'elettromagnetismo. Cenni di meccanica dei fluidi perfetti.
4. LA TEORIA DELLA RELATIVITA' GENERALE.
Motivazioni fisiche per una teoria geometrica della gravità. Struttura geometrica dello spazio-tempo. Il concetto di osservatore in relatività generale: lo spazio solidale, e il problema della simultaneità rispetto all'osservatore. Il teorema di Coriolis in relatività generale.
Dinamica della particella. Il caso di una particella in caduta libera: principio della geodetica. La legge newtoniana per il moto dei gravi come caso limite del principio della geodetica.
Comportamento degli orologi e paradosso dei gemelli in relatività generale: esperimenti di Pound-Rebka e di Hafele-Keating.
Concetti fondamentali di fluidodinamica ed elettromagnetismo in uno spazio-tempo curvo.
Il tensore energia-impulso in relatività generale. Equazioni di Einstein per il campo gravitazionale. Soluzione approssimata delle equazioni di Einstein nel limite di campo debole: la teoria della gravità di Newton come caso limite della relatività generale.
Soluzione di Schwarzschild delle equazioni di Einstein. Moto di una particella e traiettoria di un segnale luminoso nello spazio-tempo di Schwarzschild. Precessione del perielio di un pianeta e deflessione dei raggi luminosi nel campo gravitazionale del Sole.
NOTA. Dopo avere seguito questo insegnamento gli studenti potranno, se lo desiderano, affrontare lo studio di un argomento avanzato legato alla teoria della relatività generale utilizzando materiale bibliografico indicato dal docente; gli studenti interessati a questa opportunità potranno tenere un seminario su tale argomento che, in caso di valutazione positiva da parte del docente, consentirà l'acquisizione di 3 crediti supplementari di tipo F. Gli argomenti avanzati proposti sono i seguenti:
1) Il sistema GPS e la teoria della relatività generale.
2) Modelli cosmologici in relatività generale.
3) Introduzione ai buchi neri.
4) Le onde gravitazionali e la loro rivelazione.

Questa parte dell'insegnamento è dedicata ai concetti geometrico- differenziali coinvolti nella costruzione rigorosa della Teoria della Relatività. Sono trattati i seguenti argomenti: algebra multilineare e tensori, varietà differenziali, campi tensoriali, derivata di Lie, differenziale esterno, distribuzioni e teorema di Frobenius, fibrati vettoriali e connessioni, varietà riemanniane e pseudo-riemanniane.