Probabilità avanzata
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
La teoria della probabilità è oggi applicata in una grande varietà di campi tra cui fisica, ingegneria, informatica, biologia, economia e scienze sociali. Questo corso è un'introduzione rigorosa alla teoria del calcolo delle probabilità che ha le martingale di Doob e l'introduzione ai processi stocastici come tema di prospettiva. Dopo una breve panoramica sui fondamenti della teoria di base, si approfondisce l'importante concetto di valore atteso condizionato. Si introducono quindi nel dettaglio i processi stocastici con particolare riferimento alle proprietà di misurabilità e la costruzione dello spazio dei cammini. Si studia a fondo in particolare la teoria di due classi di processi: le martingale sia a tempo discreto che a tempo continuo ed i processi di Markov, sia attraverso le sue caratterizzazioni, sia considerando le catene di Markov a tempo discreto.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente impara a trattare e discutere le principali proprietà di rilevanti oggetti probabilistici. Conosce le proprietà importanti dei processi stocastici. Analizza classi fondamentali di processi e si impadronisce di tecniche avanzate dell' analisi stocastica.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
1. INTRODUZIONE ALLA PROBABILITA'
2. CONVERGENZ DI MISURE DI PROBABILITA'
2.1 Convergenza debole in R
2.2. Convergenza debole in spazi metrici
3. IL CONDIZIONAMENTO
3.1. Valore atteso condizionato
3.2. Versione regolare della probabilità condizionata
4. PROCESSI STOCASTICI
4.1. Misurabilità e continuità. Stocastica continuità. Teorema di continuità di Kolmogorov
4.2. Costruzione dello spazio dei cammini e della misura indotta sullo spazio dei cammini. Teorema di Kolmogorov Bochner
4.3. Processi gaussiani
4.4. Processi di Levy. Processi di Poisson e di Wiener
4.5. Processi di Markov: funzioni di transizioni, semigruppi di evoluzione e generatori infinitesimali. La formula di Dynkin,
4.6 Cenni alle Catene di Markov
5. TEMPI DI ARRESTO
6. MARTINGALE
6.1. Martingale a tempo discreto e loro trasformate
6.2. Risultati di convergenza e teoremi di arresto opzionale di Doob
6.3. Martingale UI
6.4. Martingale in L1 e L2
6.3. Martingale a tempo continuo
6.4. Teoria della variazione quadratica
7. CATENA DI MARKOV.
7.1. Catene di Markov a tempo discreto.
7.2. Catena di Markov a tempo continuo
Si veda il Diario delle Lezioni pubblicato sul sito didattico per gli argomenti effettivamente trattati
2. CONVERGENZ DI MISURE DI PROBABILITA'
2.1 Convergenza debole in R
2.2. Convergenza debole in spazi metrici
3. IL CONDIZIONAMENTO
3.1. Valore atteso condizionato
3.2. Versione regolare della probabilità condizionata
4. PROCESSI STOCASTICI
4.1. Misurabilità e continuità. Stocastica continuità. Teorema di continuità di Kolmogorov
4.2. Costruzione dello spazio dei cammini e della misura indotta sullo spazio dei cammini. Teorema di Kolmogorov Bochner
4.3. Processi gaussiani
4.4. Processi di Levy. Processi di Poisson e di Wiener
4.5. Processi di Markov: funzioni di transizioni, semigruppi di evoluzione e generatori infinitesimali. La formula di Dynkin,
4.6 Cenni alle Catene di Markov
5. TEMPI DI ARRESTO
6. MARTINGALE
6.1. Martingale a tempo discreto e loro trasformate
6.2. Risultati di convergenza e teoremi di arresto opzionale di Doob
6.3. Martingale UI
6.4. Martingale in L1 e L2
6.3. Martingale a tempo continuo
6.4. Teoria della variazione quadratica
7. CATENA DI MARKOV.
7.1. Catene di Markov a tempo discreto.
7.2. Catena di Markov a tempo continuo
Si veda il Diario delle Lezioni pubblicato sul sito didattico per gli argomenti effettivamente trattati
Prerequisiti
Nozioni di un corso base di Calcolo delle Probabilità (costruzione di uno spazio di probabilità, variabili e vettori aleatori, misure di probabilità indotte, principali tipi di convergenze,...)
Metodi didattici
Le lezioni saranno frontali alla lavagna. Qualche volta si potrà utilizzare il PC.
Materiale di riferimento
- D. Williams, Probability with Martingales
- J. Jacod, P. Protter, Probability Essentials
- Billingsley , Probability and Measure, 1986
- V.Capasso-D.Bakstein, An Introduction to Continuous-Time Stochastic Processes: Theory, Models, and Applications to Finance, Biology, and Medicine, Birkhauser, 2015;
- Heinz Bauer, Probability Theory,1996
- P. Baldi, Stochastic Calculus: An Introduction Through Theory and Exercises, 2017
- AppleBaum, Levy Processes and Stochastic Calculus, 2004
- Norris, Markov Chains, 1999
Sul sito MyAriel tutti i riferimenti saranno specificati nella sessione dedicata al Diario delle lezioni. Non ci saranno note dei docenti.
- J. Jacod, P. Protter, Probability Essentials
- Billingsley , Probability and Measure, 1986
- V.Capasso-D.Bakstein, An Introduction to Continuous-Time Stochastic Processes: Theory, Models, and Applications to Finance, Biology, and Medicine, Birkhauser, 2015;
- Heinz Bauer, Probability Theory,1996
- P. Baldi, Stochastic Calculus: An Introduction Through Theory and Exercises, 2017
- AppleBaum, Levy Processes and Stochastic Calculus, 2004
- Norris, Markov Chains, 1999
Sul sito MyAriel tutti i riferimenti saranno specificati nella sessione dedicata al Diario delle lezioni. Non ci saranno note dei docenti.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consta di due parti:
- una parte scritta che consiste nella risoluzione uno o due esercizi e/o nella dimostrazione di qualche risultato teorico
- una prova orale in cui si valuta la conoscenza dei risultati teorici presentati durante il corso, delle loro relative dimostrazioni, nonché la capacità dello studente di applicare e collegare tra loro vari risultati
La valutazione finale tiene conto di entrambe le prove.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
- una parte scritta che consiste nella risoluzione uno o due esercizi e/o nella dimostrazione di qualche risultato teorico
- una prova orale in cui si valuta la conoscenza dei risultati teorici presentati durante il corso, delle loro relative dimostrazioni, nonché la capacità dello studente di applicare e collegare tra loro vari risultati
La valutazione finale tiene conto di entrambe le prove.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/06 - PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 9
Esercitazioni: 36 ore
Lezioni: 42 ore
Lezioni: 42 ore
Turni:
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Lunedì 10:30-13:30 (con preavviso, salvo impegni accademici)
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, studio 1017.
Ricevimento:
Su appuntamento tramite mail
Studio del docente o su piattaforma virtuale