Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali 1
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
Presentare il metodo agli elementi finiti per problemi ai limiti ellittici e fornire un'analisi dell'errore della sua soluzione approssimata.
Risultati apprendimento attesi
La comprensione dei fondamenti del metodo agli elementi finiti. La capacità di applicare e implementare il metodo agli elementi finiti per problemi stazionari e di interpretare i risultati numerici ottenuti.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Teoria:
Introduzione: elementi finiti lineari unodimensionali. Formulazione classica di problemi ai limiti ellitici. Triangolazioni. Integrazione numerica su simplessi. L'elemento finito. Elementi di Lagrange. Formulazione debole and caratterizzazione di problemi ai limiti ben posti. Il metodo di Petrov-Galerkin e quasi-ottimalità. Spazi di Sobolev. Approssimazione locale e globale con polinomi a tratti. Convergenza e stime dell'errore a priori. Stime inverse. Regolarità di soluzioni esatte. Quantità di interesse. Stime dell'errore a posteriori.
Pratica:
Implementazione modello di elementi finiti unodimensionale. Implementazione di problemi ai limiti multidimensionali all'interno della libreria ALBERTA.
Introduzione: elementi finiti lineari unodimensionali. Formulazione classica di problemi ai limiti ellitici. Triangolazioni. Integrazione numerica su simplessi. L'elemento finito. Elementi di Lagrange. Formulazione debole and caratterizzazione di problemi ai limiti ben posti. Il metodo di Petrov-Galerkin e quasi-ottimalità. Spazi di Sobolev. Approssimazione locale e globale con polinomi a tratti. Convergenza e stime dell'errore a priori. Stime inverse. Regolarità di soluzioni esatte. Quantità di interesse. Stime dell'errore a posteriori.
Pratica:
Implementazione modello di elementi finiti unodimensionale. Implementazione di problemi ai limiti multidimensionali all'interno della libreria ALBERTA.
Prerequisiti
Essenziali: Analisi Matematica, Algebra Lineare e pratica di programmazione in C.
Utili: L'integrale e spazi di Lebesgue, Algebra Lineare Numerica e Approssimazione Costruttiva.
Utili: L'integrale e spazi di Lebesgue, Algebra Lineare Numerica e Approssimazione Costruttiva.
Metodi didattici
Lezioni frontali, esercizi e laboratorio.
Materiale di riferimento
·Dietrich Braess, Finite elements. Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics, 3nd edition, Cambridge University Press, 2007
·S. C. Brenner, L. R. Scott, The mathematical theory of finite element methods, Texts in Applied Mathematics 15, 3nd edition, Springer, 2007
·A. Ern, J.-L. Guermond, Finite Elements I-III, TAM 72-74, Springer, 2021
·W. Hackbusch, Elliptic differential equations. Theory and numerical treatment, Springer Series in Computational Mathematics 18, Springer, 1987
·C. Johnson, Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method, Cambridge University Press, 1987
·S. Larsson, V. Thomée, Partial differential equations with numerical methods, Texts in Applied Mathematics 45, 2nd edition, Springer, 2008
·R. H. Nochetto, A. Veeser, Primer of Adaptive Finite Element Methods, in: Multiscale and Adaptivity: Modeling, Numerics and Applications, G. Naldi, G. Russo (ed.), Lecture Notes in Mathematics 2040, Springer, 2012
·A. Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Springer Italia, 2000
·A. Quarteroni, A. Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, 1991
·A. Schmidt, K. G. Siebert, Design of adaptive finite element software. The finite element toolbox ALBERTA, Lecture Notes in Computational Science and Engineering 42, Springer, 2005.
·S. C. Brenner, L. R. Scott, The mathematical theory of finite element methods, Texts in Applied Mathematics 15, 3nd edition, Springer, 2007
·A. Ern, J.-L. Guermond, Finite Elements I-III, TAM 72-74, Springer, 2021
·W. Hackbusch, Elliptic differential equations. Theory and numerical treatment, Springer Series in Computational Mathematics 18, Springer, 1987
·C. Johnson, Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method, Cambridge University Press, 1987
·S. Larsson, V. Thomée, Partial differential equations with numerical methods, Texts in Applied Mathematics 45, 2nd edition, Springer, 2008
·R. H. Nochetto, A. Veeser, Primer of Adaptive Finite Element Methods, in: Multiscale and Adaptivity: Modeling, Numerics and Applications, G. Naldi, G. Russo (ed.), Lecture Notes in Mathematics 2040, Springer, 2012
·A. Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Springer Italia, 2000
·A. Quarteroni, A. Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, 1991
·A. Schmidt, K. G. Siebert, Design of adaptive finite element software. The finite element toolbox ALBERTA, Lecture Notes in Computational Science and Engineering 42, Springer, 2005.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di due parti:
· la valutazione di un piccolo progetto a scelta e
· una prova orale finale su appuntamento individuale dopo iscrizione ad un appello.
Il progetto dovrà essere scelto da un elenco, che verrà messo a disposizione all'inizio di ogni sessione d'esame. È permesso svolgere il progetto in collaborazione con un'altra persona; i membri del gruppo devono completare l'esame all'interno dello stesso periodo di validità dell'elenco di progetti d'esame. La consegna corretta del progetto tramite email consiste in una cartella zip contenente i codici (ma non gli eseguibili per la protezione antivirus) e un elaborato in formato pdf che descriva i risultati ottenuti in al più 5 pagine; si raccomanda che ogni studente rediga l'elaborato autonomamente. Tutto deve essere consegnato, insieme ai nominativi del gruppo, due giorni lavorativi prima della data concordata per la prova orale finale.
Per concordare la data della prova orale, lo studente deve essere iscritto ad un appello attuale; si raccomanda di contattare il docente almeno una settimana prima della data desiderata. Di norma, la prova orale incomincerà con una breve discussione dell'elaborato e durerà 45 minuti. Si invita il candidato a portarsi una copia dell'elaborato e a prepararsi a domande sia fuori che nel contesto del progetto. Non si può ripetere l'esame con lo stesso progetto.
L'esame si intende superato se l'elaborato e la sua discussione vengono valutati positivamente e se viene superata la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato al termine della prova orale.
· la valutazione di un piccolo progetto a scelta e
· una prova orale finale su appuntamento individuale dopo iscrizione ad un appello.
Il progetto dovrà essere scelto da un elenco, che verrà messo a disposizione all'inizio di ogni sessione d'esame. È permesso svolgere il progetto in collaborazione con un'altra persona; i membri del gruppo devono completare l'esame all'interno dello stesso periodo di validità dell'elenco di progetti d'esame. La consegna corretta del progetto tramite email consiste in una cartella zip contenente i codici (ma non gli eseguibili per la protezione antivirus) e un elaborato in formato pdf che descriva i risultati ottenuti in al più 5 pagine; si raccomanda che ogni studente rediga l'elaborato autonomamente. Tutto deve essere consegnato, insieme ai nominativi del gruppo, due giorni lavorativi prima della data concordata per la prova orale finale.
Per concordare la data della prova orale, lo studente deve essere iscritto ad un appello attuale; si raccomanda di contattare il docente almeno una settimana prima della data desiderata. Di norma, la prova orale incomincerà con una breve discussione dell'elaborato e durerà 45 minuti. Si invita il candidato a portarsi una copia dell'elaborato e a prepararsi a domande sia fuori che nel contesto del progetto. Non si può ripetere l'esame con lo stesso progetto.
L'esame si intende superato se l'elaborato e la sua discussione vengono valutati positivamente e se viene superata la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato al termine della prova orale.
MAT/08 - ANALISI NUMERICA - CFU: 9
Laboratori: 36 ore
Lezioni: 42 ore
Lezioni: 42 ore
Docenti:
Fierro Francesca, Veeser Andreas
Turni:
Docente/i