Metodi matematici della fisica: geometria e gruppi 1

L'insegnamento si prefigge di fornire agli studenti competenze teoriche e, in certa misura, applicative (a livello di applicazione dei metodi a problemi fisici) di geometria differenziale e teoria dei gruppi. Nella prima parte del corso, partendo dai principi dell'analisi tensoriale e delle forme differenziali si arriva ad estendere le operazioni differenziali a varieta' differenziali e spazi curvi in modo da ottenere formulazioni di leggi fisiche invarianti. Nella seconda parte, partendo dagli assiomi delle operazioni di gruppo si arriva a sviluppare tutta la teoria delle rappresentazioni e dei caratteri per gruppi discreti e per gruppi continui

Al termine dell'insegnamento lo studente avra' acquisito le seguenti abilita':
1) sapra' maneggiare oggetti tensoriali e le loro leggi di trasformazione
2) sapra' formulare leggi fisiche e teorie classiche di campo in forma covariante
3) sapra' utilizzare il linguaggio e i metodi delle forme differenziali e delle varieta' differenziali unitamente ai relativi aspetti topologici
4) sapra' formalizzare operazioni fisiche di simmetria in termini di gruppi e loro rappresentazioni
5) sara' in grado di comprendere e utilizzare le proprieta' algebriche dei gruppi (classi di coniugazioni, sottogruppi, cosets)
6) sara' in grado di utilizzare gruppi discreti e la teoria della rappresentazione e dei caratteri degli stessi
7) sara' in grado di comprendere e utilizzare i teoremi fondamentali della teoria della rappresentazione dei gruppi (grande teorema di ortonalita', lemmi di Schur e relative dimostrazioni)
8) sara' in grado di comprendere e utilizzare gruppi continui come SO(3), SU(2) etc, gruppi di Lorentz e Poincare' nell'ambito di problemi fisici
9) sara' in grado di applicare la teoria dei gruppi a problemi di meccanica quantistica (analisi del momento angolare: coefficienti di Clebsch-Gordan, matrice ridotta di Wigner, level splitting) e problemi di fisica dello stato solido (simmetrie di cristalli, crystal field splitting, proprieta' tensoriali dei cristalli)