Metodi e modelli matematici per le applicazioni
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di fornire le nozioni di base dei modelli, metodi e tecniche matematiche che intervengono nello studio di sistemi dinamici basso dimensionali, anche caratterizzati da un comportamento caotico, motivati anche da problemi di natura applicativa.
Questo obiettivo verrà perseguito in misura importante mediante le attività di laboratorio, dove si svilupperanno opportuni strumenti numerici per l'indagine dei modelli presi in esame.
Questo obiettivo verrà perseguito in misura importante mediante le attività di laboratorio, dove si svilupperanno opportuni strumenti numerici per l'indagine dei modelli presi in esame.
Risultati apprendimento attesi
Al termine dell'insegnamento, lo studente deve saper studiare semplici sistemi dinamici che rappresentano modelli matematici provenienti anche dalle Scienze applicate, e deve saper sviluppare semplici codici numerici a supporto di tale studio.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
1. Richiami sui sistemi in tempo continuo (flussi), autonomi e non autonomi, e relazione coi sistemi in tempo discreto (mappe).
2. Mappe in una dimensione: punti fissi e periodici; attrattori e repulsori; stabilità; biforcazioni.
La famiglia logistica (un modello di crescita di popolazione).
Dinamica topologica e caos. Dinamica simbolica.
Stabilità strutturale.
Numero di rotazione per mappe del cerchio (verso la standard map).
3. Flussi nel piano: richiami sui sistemi lineari e non lineari (classificazione
equilibri e stabilità).
Comportamento locale (nell'intorno di equilibri): teoremi della curva stabile locale.
Indice e sezione di Poincaré, insiemi limite.
Comportamento asintotico globale: classificazione completa e teorema di Poincaré-Bendixson.
4. Flussi in dimensione superiore; attrattori strani. Modello di Lorenz.
Esponenti di Lyapunov (anche per mappe) e varianti.
5. Sistemi oscillanti: richiami sugli oscillatori lineari forzati e fenomeno della risonanza.
Oscillazioni nonlineari (anisocroni). Metodo della media e applicazioni. Modello di Van der Pol; oscillatore nonlineare forzato; fenomeno della sincronizzazione.
Oscillatori non accoppiati: risonanze e flusso lineare su tori.
Oscillatori accoppiati (modello di Hénon-Heiles).
6. Mappe in dimensione due: mappa del panettiere, gatto di Arnold.
Sistemi iperbolici; lemma dell'orbita ombra.
Fenomeno del punto omoclino e insorgenza del caos in sistemi continui conservativi.
2. Mappe in una dimensione: punti fissi e periodici; attrattori e repulsori; stabilità; biforcazioni.
La famiglia logistica (un modello di crescita di popolazione).
Dinamica topologica e caos. Dinamica simbolica.
Stabilità strutturale.
Numero di rotazione per mappe del cerchio (verso la standard map).
3. Flussi nel piano: richiami sui sistemi lineari e non lineari (classificazione
equilibri e stabilità).
Comportamento locale (nell'intorno di equilibri): teoremi della curva stabile locale.
Indice e sezione di Poincaré, insiemi limite.
Comportamento asintotico globale: classificazione completa e teorema di Poincaré-Bendixson.
4. Flussi in dimensione superiore; attrattori strani. Modello di Lorenz.
Esponenti di Lyapunov (anche per mappe) e varianti.
5. Sistemi oscillanti: richiami sugli oscillatori lineari forzati e fenomeno della risonanza.
Oscillazioni nonlineari (anisocroni). Metodo della media e applicazioni. Modello di Van der Pol; oscillatore nonlineare forzato; fenomeno della sincronizzazione.
Oscillatori non accoppiati: risonanze e flusso lineare su tori.
Oscillatori accoppiati (modello di Hénon-Heiles).
6. Mappe in dimensione due: mappa del panettiere, gatto di Arnold.
Sistemi iperbolici; lemma dell'orbita ombra.
Fenomeno del punto omoclino e insorgenza del caos in sistemi continui conservativi.
Prerequisiti
Conoscenze elementari di analisi, geometria e algebra lineare (come da contenuti erogati negli insegnamenti di Geometria 1, 2 e 3 e Analisi 1, 2 e 3). Rudimenti di sistemi dinamici come introdotti nell'insegnamento di Fisica Matematica I (linearizzazione e classificazione di equilibri in sistemi piani, stabilità secondo Lyapunov, oscillatore lineare forzato periodicamente). Gli insegnamenti cui si fa riferimento sono quelli della Laurea Triennale in Matematica dell'Università degli Studi di Milano.
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Esercitazioni in laboratorio al calcolatore, in cui si chiederà di sviluppare semplici codici numerici a supporto dell'indagine dei sistemi dinamici e relativi modelli presi in esame nella teoria; si potranno alternare attività a piccoli gruppi ad attività individuali.
La frequenza è fortemente consigliata.
Ci si avvale di materiale didattico disponibile su Ariel.
Esercitazioni in laboratorio al calcolatore, in cui si chiederà di sviluppare semplici codici numerici a supporto dell'indagine dei sistemi dinamici e relativi modelli presi in esame nella teoria; si potranno alternare attività a piccoli gruppi ad attività individuali.
La frequenza è fortemente consigliata.
Ci si avvale di materiale didattico disponibile su Ariel.
Materiale di riferimento
Dispense disponibili sulla pagina Ariel dell'insegnamento;
in aggiunta: Introduction to Dynamical Systems, Brin&Stuck, Cambridge
in aggiunta: Introduction to Dynamical Systems, Brin&Stuck, Cambridge
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova orale e della valutazione dell'attività svolta in laboratorio.
- Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
- La valutazione del laboratorio si basa sullo svolgimento delle attività di volta in volta richieste nelle varie sedute di laboratorio.
L'esame si intende superato se viene superata la prova orale e, se viene valutata positivamente l'attività di laboratorio. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
ATTENZIONE: per gli studenti che seguono il corso nella modalità "crediti di tipo F" (con denominazione "Attività di Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni"), risulterà più rilevante l'attività di laboratorio, e il colloquio orale sarà in forma più breve. L'esito finale consiste nel giudizio "Approvato" oppure "Non approvato".
- Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
- La valutazione del laboratorio si basa sullo svolgimento delle attività di volta in volta richieste nelle varie sedute di laboratorio.
L'esame si intende superato se viene superata la prova orale e, se viene valutata positivamente l'attività di laboratorio. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
ATTENZIONE: per gli studenti che seguono il corso nella modalità "crediti di tipo F" (con denominazione "Attività di Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni"), risulterà più rilevante l'attività di laboratorio, e il colloquio orale sarà in forma più breve. L'esito finale consiste nel giudizio "Approvato" oppure "Non approvato".
MAT/07 - FISICA MATEMATICA - CFU: 6
Laboratori: 24 ore
Lezioni: 36 ore
Lezioni: 36 ore
Docenti:
Paleari Simone, Penati Tiziano
Turni:
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento (via e-mail)
Ufficio 1039, I piano, Dipartimento di Matematica, Via Saldini, 50
Ricevimento:
da definirsi via email
studio 1039, primo piano, Dip. Matematica via Saldini, 50