Matematica del continuo

1. Concetti elementari della teoria degli insiemi. Nozioni fondamentali sulle funzioni tra insiemi. Relazioni su insiemi. Relazioni di equivalenza e di ordine. Elementi di calcolo combinatorio.
2. Gli insiemi N,Z,Q,R dei numeri naturali, interi relativi, razionali e reali, con le loro strutture algebriche e di ordine. Numerabilità di Q; non numerabilità di R. Completezza di R. Estremo superiore e inferiore di sottoinsiemi di R. Cenni di topologia in R. Gli spazi R^n (n=1,2,3, ).
3. Cenni sulla nozione astratta di spazio vettoriale. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali e matrici. Equazioni lineari.
4. Generalità sulle funzioni definite su un sottoinsieme di R, a valori in R. Alcune funzioni elementari: potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche. Utilizzo delle funzioni trigonometriche in acustica. Un primo incontro con la serie di Fourier.
5. Nozione di limite per le funzioni da un sottoinsieme di R a R; esempi .Limiti e operazioni algebriche sulle funzioni: forme di indecisione. Nozione di continuità per le funzioni da un sottoinsieme di R a R. Alcuni fatti sulle funzioni continue; teoremi di Darboux e Weierstrass. Continuità delle funzioni elementari. Limiti, continuità e composizione delle funzioni. Limiti notevoli. Il numero di Napier come limite notevole.
6. Le successioni reali, e la relativa nozione di limite. Serie reali: alcuni esempi e condizioni di convergenza.
7. Nozione di derivata per una funzione da un sottoinsieme di R a R, e suo significato geometrico. Una applicazione della derivata: la velocità di una particella. Derivate e operazioni algebriche sulle funzioni. Derivate delle funzioni elementari. Derivata di una funzione inversa e di una funzione composta. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange.
8. Derivate di ordine superiore al primo. Una applicazione della derivata seconda: l'accelerazione di una particella. Formula di Taylor con resto nella forma di Peano o di Lagrange. Uso della formula di Taylor per il calcolo di limiti, o per la valutazione numerica di funzioni. Cenni sulla serie di Taylor.
9. Uso delle derivate per determinare i punti di massimo e di minimo di una funzione da un sottoinsieme di R a R, e gli intervalli in cui tale funzione è crescente, decrescente, convessa o concava. Analisi di altri aspetti del grafico di una tale funzione; asintoti.
10. Nozione di primitiva, o integrale indefinito, per una funzione reale su un intervallo. Alcuni integrali indefiniti elementari. Integrazione indefinita per parti e per sostituzione.
11. Integrale definito secondo Riemann di una funzione reale su un intervallo, e suo significato geometrico. Teorema fondamentale del calcolo. Integrazione definita per parti e per sostituzione. Cenni sugli integrali impropri. Cenni sull'uso di integrali per stimare somme e serie.
12. Il campo complesso C. Modulo, argomento e rappresentazione trigonometrica di un numero complesso. Cenni sui limiti, sulla derivazione e sull'integrazione di funzioni a valori complessi. Cenni sulle successioni e le serie complesse. L'esponenziale in campo complesso; formula di Eulero. Radici n-esime di un numero complesso. Il teorema fondamentale dell'algebra.