Geometria 5
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
Scopo dell'insegnamento è fornire elementi di base della teoria dei rivestimenti e della coomologia di de Rham.
Risultati apprendimento attesi
Saper riconoscere un rivestimento topologico e saperne studiare le proprietà. Saper classificare i rivestimenti di semplici spazi topologici in base al loro gruppo fondamentale.
Saper calcolare la coomologia di de Rham di semplici varietà differenziabili.
Saper calcolare la coomologia di de Rham di semplici varietà differenziabili.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Prerequisiti
Si assume che gli studenti abbiano conoscenze di base di topologia, del gruppo fondamentale, di varietà differenziabili e di forme differenziali.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova orale. Durante la prova orale verrà richiesto di risolvere qualche esercizio e di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Geometria 5 (prima parte)
Programma
Teoria dei rivestimenti. Quozienti per azioni propriamente discontinue. Unicita` del sollevamento. Teorema di sollevamento di cammini e omotopie. Monodromia del rivestimento. Rivestimenti regolari. Rivestimento universale. Teorema di classificazione dei rivestimenti.
Rivestimenti differenziabili e rivestimento di orientazione.
CW complessi finiti e classificazione delle superfici topologiche compatte.
Cenni di teoria delle categorie e algebra omologica.
Complesso di de Rham e relativa coomologia. La successioni di Mayer-Vietoris. Il lemma di Poincaré. Teorema di finitezza.
Complementi di geometria differenziale e topologia algebrica.
Rivestimenti differenziabili e rivestimento di orientazione.
CW complessi finiti e classificazione delle superfici topologiche compatte.
Cenni di teoria delle categorie e algebra omologica.
Complesso di de Rham e relativa coomologia. La successioni di Mayer-Vietoris. Il lemma di Poincaré. Teorema di finitezza.
Complementi di geometria differenziale e topologia algebrica.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni.
Materiale di riferimento
M Manetti, Topologia, Springer, 2008
A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge Univ. Press, 2002 (https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf) R. Bott, L. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology. New York Springer Verlag 1982
M.Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, New York Springer-Verlag 2011
A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge Univ. Press, 2002 (https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf) R. Bott, L. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology. New York Springer Verlag 1982
M.Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, New York Springer-Verlag 2011
Geometria 5 (seconda parte)
Programma
Per l'insegnamento da 9 cfu, oltre a tutti i contenuti del programma del corso da 6 cfu:
Complesso di de Rham a supporto compatto e relativa coomologia. La successione di Mayer-Vietoris e il lemma di Poincaré a supporto compatto. Dualità di Poincaré.
Omologia singolare: definizioni e significato geometrico di H0 e H1.
Successione esatta di Mayer Vietoris.
Esempi di calcolo di gruppi di omologia.
Teorema di De Rham
Complementi di geometria differenziale e topologia algebrica.
Complesso di de Rham a supporto compatto e relativa coomologia. La successione di Mayer-Vietoris e il lemma di Poincaré a supporto compatto. Dualità di Poincaré.
Omologia singolare: definizioni e significato geometrico di H0 e H1.
Successione esatta di Mayer Vietoris.
Esempi di calcolo di gruppi di omologia.
Teorema di De Rham
Complementi di geometria differenziale e topologia algebrica.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni.
Materiale di riferimento
M Manetti, Topologia, Springer, 2008
A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge Univ. Press, 2002 (https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf)
R. Bott, L. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology. New York Springer Verlag 1982
M.Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, New York Springer-Verlag 2011
A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge Univ. Press, 2002 (https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf)
R. Bott, L. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology. New York Springer Verlag 1982
M.Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, New York Springer-Verlag 2011
Moduli o unità didattiche
Geometria 5 (prima parte)
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 6
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 28 ore
Lezioni: 28 ore
Docenti:
Bertolini Marina, Camere Chiara
Geometria 5 (seconda parte)
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 3
Esercitazioni: 12 ore
Lezioni: 14 ore
Lezioni: 14 ore
Docenti:
Bertolini Marina, Camere Chiara
Siti didattici
Docente/i