Geometria 1

L'insegnamento si propone di fornire agli studenti alcune conoscenze e competenze di algebra lineare. Partendo dalla nozione di spazio vettoriale di dimensione finita su un campo qualsiasi, si arriva a risolvere i sistemi di equazioni lineari con il metodo di Gauss-Jordan. Sì studiano poi le applicazioni lineari e bilineari, illustrando la nozione di matrice rappresentativa e i relativi problemi di diagonalizzazione. Le applicazioni bilineari vengono poi approfondite con lo studio degli spazi vettoriali euclidei (reali e complessi) e degli operatori autoaggiunti, relativamente ai quali si dimostra il teorema spettrale.

Al termine dell'insegnamento, gli studenti avranno acquisito le seguenti abilità:
1. saprà risolvere i sistemi di equazioni lineari;
2. sarà in grado di applicare la teoria degli spazi vettoriali di dimensione finita, riconoscendo sottospazi vettoriali e determinandone delle basi;
3. sarà in grado di studiare le applicazioni lineari, determinandone la matrice rappresentativa, il nucleo e l'immagine;
4. saprà applicare alcuni aspetti della teoria della diagonalizzazione di endomorfismi e di matrici, sulla base della ricerca di autovalori e di autovettori;
5. saprà lavorare in spazi dotati di prodotto scalare definito positivo (detti anche spazi euclidei) e applicare nozioni elementari di geometria euclidea;
6. saprà riconoscere gli operatori autoaggiunti e saprà diagonalizzarli, determinandone una base ortonormale di autovettori mediante il teorema spettrale (reale e complesso).