Fisica matematica 1
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
L'obiettivo dell'insegnamento è quello di illustrare la formalizzazione di Lagrange e di Hamilton della meccanica di Newton, anche attraverso gli strumenti dell'analisi qualitativa delle equazioni differenziali, toccando la questione della stabilita`, i principi variazionali e problemi prototipo quali quello di Keplero.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente svilupperà la capacità di trattare sistemi di equazioni differenziali, in particolare considerando i corrispondenti equilibri e la loro stabilità; acquisirà conoscenza della meccanica nelle sue varie formulazioni e capacità di trattare sistemi meccanici vincolati attraverso il formalismo lagrangiano.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
1. La meccanica come disciplina matematica, dagli antichi greci a Newton e Lagrange: la forma matematica moderna dei principi della dinamica, studio qualitativo dei moti 1-dimensionali, sistemi dinamici piani.
2. Moti rigidi: formula fondamentale dei corpi rigidi, angoli di Eulero ed elissoide d'inerzia.
3. Meccanica Lagrangiana: derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange dal principio dei lavori virtuali, conservazione dell'energia per Lagrangiane naturali, coordinate ignorabili, Lagrangiana ridotta.
4. Il problema dei due corpi: derivazione dalle simmetrie dello spazio, riduzione a un problema 1-dimensionale, superintegrabilita' del problema di Keplero-Coulomb e 3 leggi di Keplero, scattering di Rutherford.
5. Formulazione variazionale della meccanica Lagrangiana.
6. Meccanica Hamiltoniana: trasformazione di Legendre, equazioni di Hamilton, parentesi di Poisson, trasformazioni canoniche.
7. Stabilita' per sistemi meccanici: teorema di Dirichlet, piccole oscillazioni e modi normali.
2. Moti rigidi: formula fondamentale dei corpi rigidi, angoli di Eulero ed elissoide d'inerzia.
3. Meccanica Lagrangiana: derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange dal principio dei lavori virtuali, conservazione dell'energia per Lagrangiane naturali, coordinate ignorabili, Lagrangiana ridotta.
4. Il problema dei due corpi: derivazione dalle simmetrie dello spazio, riduzione a un problema 1-dimensionale, superintegrabilita' del problema di Keplero-Coulomb e 3 leggi di Keplero, scattering di Rutherford.
5. Formulazione variazionale della meccanica Lagrangiana.
6. Meccanica Hamiltoniana: trasformazione di Legendre, equazioni di Hamilton, parentesi di Poisson, trasformazioni canoniche.
7. Stabilita' per sistemi meccanici: teorema di Dirichlet, piccole oscillazioni e modi normali.
Prerequisiti
Conoscenze di analisi, geometria e algebra lineare fornite nei primi tre semestri del corso di laurea.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni; frequenza fortemente consigliata.
Materiale di riferimento
- G. Grioli Lezioni di Meccanica Razionale, Raffaello Cortina editore (corpi rigidi e angoli di Eulero);
- E. Goldstein, C. Safko, J. Poole, Meccanica classica, Zanichelli (meccanica Lagrangiana e Hamiltoniana);
- F. R. Gantmacher, Lezioni di meccanica analitica, Editori riuniti (stabilita').
Altri riferimenti generali:
- I. E. Idorov, Fundamental Laws of Mechanics
- L. D. Landau e E. M. Lifshitz, Fisica Teorical Vol. 1 - Meccanica, Editori Riuniti;
- V. I. Arnol'd, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti.
- E. Goldstein, C. Safko, J. Poole, Meccanica classica, Zanichelli (meccanica Lagrangiana e Hamiltoniana);
- F. R. Gantmacher, Lezioni di meccanica analitica, Editori riuniti (stabilita').
Altri riferimenti generali:
- I. E. Idorov, Fundamental Laws of Mechanics
- L. D. Landau e E. M. Lifshitz, Fisica Teorical Vol. 1 - Meccanica, Editori Riuniti;
- V. I. Arnol'd, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta e una prova orale.
- Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta e/o chiusa, atti a verificare la capacità di risolvere problemi di meccanica Lagrangiana e Hamiltoniana. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie verranno comunicate sul SIFA attraverso il portale UNIMIA. La prova scritta non ha voto in trentesimi, ma solo una valutazione.
- Alla prova orale accedono solo gli Studenti che hanno superato la prova scritta. Gli studenti ammessi all'orale dovranno sostenere la prova entro 12 mesi durante gli appelli preposti. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare idee, tecniche, definizioni e risultati del programma dell'insegnamento, nonché eventualmente di risolvere qualche problema di meccanica Lagrangiana, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
- Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta e/o chiusa, atti a verificare la capacità di risolvere problemi di meccanica Lagrangiana e Hamiltoniana. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie verranno comunicate sul SIFA attraverso il portale UNIMIA. La prova scritta non ha voto in trentesimi, ma solo una valutazione.
- Alla prova orale accedono solo gli Studenti che hanno superato la prova scritta. Gli studenti ammessi all'orale dovranno sostenere la prova entro 12 mesi durante gli appelli preposti. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare idee, tecniche, definizioni e risultati del programma dell'insegnamento, nonché eventualmente di risolvere qualche problema di meccanica Lagrangiana, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/07 - FISICA MATEMATICA - CFU: 6
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 36 ore
Lezioni: 36 ore
Docente:
Gubbiotti Giorgio
Docente/i
Ricevimento:
Martedi 14.30-16.30
Diparimento di Matematica "Federigo Enriques" Stanza 1040