Equazioni alle derivate parziali non lineari

1. Principi di massimo per equazioni lineari ed applicazioni ad equazioni nonlineari:
· La teoria di Hopf per soluzioni classiche di equazioni uniformemente ellittici: principio di massimo debole e forte, il lemma di Hopf, principio di confronto di Serrin, il principio di massimo generalizzato per domini stretti. Stime a priori per equazioni semilineari.
· La teoria di Alexandroff per soluzioni classiche di equazioni ellittiche: la stima di Alexandroff, il principio di massimo ed il principio di confronto per domini di piccoli in misura. Stime apriori per equazioni quasilineari e completamente nonlineari.

2. Differenziabilità di funzioni convesse:
· lI subdifferenziale e la teoria del primo ordine.
· Il teorema di Alexsandroff sulla differenziabilità del secondo ordine nel senso di Peano.
· Subdifferenziale, superdifferenziale del secondo ordine, funzioni semicontinue e funzioni semiconvesse.
· I lemmi di Jensen e Slodkowski.

3. Soluzioni viscose per equazioni completamente nonlineari ellittici:
· I concetti di sub e super soluzione viscosa per equazioni completamente nonlineari.
· Esistenza di soluzioni in senso viscoso per il problema di Dirichlet tramite un metodo di Perron (inviluppo superiore di subsoluzioni) ed il teorema di Ishii.
· Validità del principio di confronto tramite lo studio di estremi locali per funzioni semicontinue.
· Costruzione di subsoluzioni e supersoluzioni opportuni.

Tempo permettendo, sarà trattato anche argomenti tra:
· L'approccio di Harvey-Lawson tramite teoria potenziale nonlineare e la nozione di ellitticità Krylov per soluzioni viscose con condizioni di ammissibilità.
· Regolarità hölderiana di soluzioni viscose.
· Nozione di autovalore principale generalizzato per operatori nonlineari e nonomogenee.