Elementi di analisi funzionale
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
L'insegnamento è finalizzato a fornire nozioni e strumenti esclusivamente di base nell'ambito (infinito-dimensionale) dell'analisi funzionale lineare ed è da intendersi come propedeutico ad eventuali insegnamenti successivi.
Risultati apprendimento attesi
Conoscenza delle tecniche basilari dell'Analisi Funzionale e loro impiego nella soluzione di semplici problemi teorici e/o di Matematica applicata.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Spazi normati e di Banach, cenni al completamento. Norme equivalenti. Operatori lineari continui, lo spazio degli operatori. Lo spazio duale. Teoremi di Hahn-Banach. Compattezza forte.
Esempi di spazi di Banach (di funzioni o successioni) e loro duali. Spazi vettoriali topologici. Topologie deboli, riflessività, compattezza debole e debole-star. Cenni alla metrizzabilità delle topologie deboli.
Teorema di Baire e le sue applicazioni: Principio dell'uniforme limitatezza, Teorema della mappa aperta e Teorema del grafico chiuso. Operatore aggiunto. Operatori compatti. Operatori integrali di Fredholm e di Volterra.
Cenni alla teoria spettrale. Teoria spettrale degli operatori compatti.
Esempi di spazi di Banach (di funzioni o successioni) e loro duali. Spazi vettoriali topologici. Topologie deboli, riflessività, compattezza debole e debole-star. Cenni alla metrizzabilità delle topologie deboli.
Teorema di Baire e le sue applicazioni: Principio dell'uniforme limitatezza, Teorema della mappa aperta e Teorema del grafico chiuso. Operatore aggiunto. Operatori compatti. Operatori integrali di Fredholm e di Volterra.
Cenni alla teoria spettrale. Teoria spettrale degli operatori compatti.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1, 2, 3 e 4. Elementi di base di Topologia Generale. Elementi base di Algebra Lineare. Elementi di base di Analisi Reale, in particolare è fondamentale la conoscenza e familiarità con gli spazi L^p e gli spazi di Hilbert.
Metodi didattici
L'insegnamento verrà condotto attraverso lezioni frontali svolte alla lavagna. Sarà richiesta la consegna delle soluzioni di esercizi assegnati in classe durante il corso.
Materiale di riferimento
-- Note del corso
-- John B. Conway, A Course in Functional Analysis 2nd Ed., Springer New York, NY, 2007.
-- [Ru] W. Rudin, Functional Analysis, 3rd Edition, McGraw-Hill, New York, 1991.
-- John B. Conway, A Course in Functional Analysis 2nd Ed., Springer New York, NY, 2007.
-- [Ru] W. Rudin, Functional Analysis, 3rd Edition, McGraw-Hill, New York, 1991.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Nel corso del semestre, verrà assegnato come compito a casa lo svolgimento di alcuni esercizi. L'esame finale consiste in una prova orale. Verrà richiesto di illustrare e discutere alcuni risultati facenti parte del programma dell'insegnamento o ad esso direttamente collegabili, nonché di risolvere qualche problema nell'ambito del programma stesso, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli connettere e applicare correttamente. La durata media della prova orale è di 45 minuti.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente:
Peloso Marco Maria
Turni:
Turno
Docente:
Peloso Marco MariaSiti didattici
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