Elaborazione dei segnali

PROGRAMMA DETTAGLIATO DELL'INSEGNAMENTO

PARTE PRIMA

· Introduzione
o Definizione di segnale e sistema.
o Tempo-continuo vs tempo-discreto.
o Segnali periodici e principali identità trigonometriche (ripasso).
o Numeri complessi (ripasso). Formula di Eulero diretta e inversa.

· Segnali tempo-continui
· Segnali costituiti dalla composizione lineare di un numero finito di segnali cosinusoidali
o Formula di composizione lineare (SINTESI) che utilizza gli esponenziali complessi.
o Definizione di spettro. Rappresentazione come modulo e fase oppure parte reale e immaginaria.
o Proprietà dello spettro di un segnale: moltiplicazione per una costante, somma con una costante, somma di due segnali, traslazione temporale, derivata, moltiplicazione per un esponenziale complesso.
o Segnali composti dalla somma di due sinusoidi.
o Modulazione di ampiezza (introduzione).
· Segnali periodici costituiti dalla composizione lineare di segnali cosinusoidali aventi frequenze armoniche
o Definizione di periodo di un segnale periodico e di frequenze armoniche della fondamentale.
o Serie di Fourier: formule di analisi e sintesi per un segnale tempo-continuo periodico.
o Esempio di serie di Fourier: segnale seno rettificato, onda sawtooth e segnale ad impulsi.
o Spettro di un segnale periodico.
o Condizioni di Dirichlet di esistenza della serie di Fourier.
o Ricostruzione approssimata per troncamento della serie di Fourier. Errore massimo e fenomeno di Gibb in presenza di discontinuità finite. Errore quadratico medio.
o Formula (o teorema) di Parseval.
o Prodotto scalare in uno spazio vettoriale e nella rappresentazione cartesiana. Ortogonalità di due vettori (ripasso).
o Ortogonalità di due funzioni tempo-continue periodiche (definizione). Ortogonalità di due esponenziali complessi aventi frequenze diverse. Interpretazione geometrica delle formule di analisi e sintesi della serie di Fourier.
· Integrazioni conclusive
o Definizione di funzione seno cardinale (definizione e proprietà).
o Definizione di frequenza istantanea. Modulazione di frequenza (cenni).
o Spettrogramma e collegamenti con la rappresentazione musicale.

· Dal tempo-continuo al tempo-discreto (e viceversa)
o Campionamento ideale di segnali tempo-continui (introduzione).
o Convertitore Analogico/Digitale (A/D) e suoi macroblocchi: campionatore e quantizzatore.
o Quantizzazione: cenni. Range, Least Significant Bit (LSB) e numero di bit.
o Definizione di frequenza e pulsazione discrete.
o Campionamento di segnali cosinusoidali quando il rapporto frequenza del segnale / frequenza di campionamento è costante.
o Equivalenza di cosinuosoidi discrete aventi frequenze multiple del periodo: alias e alias principale. Corrispondenza delle loro serie numeriche.
o Spettro di una cosinusoide discreta e sua periodicità.
o Ricostruzione di una sinusoide tempo continua campionata: ineluttabilità della ricostruzione del solo alias principale.
o Teorema del campionamento o di Shannon. Definizione di Nyquist rate e Nyquist frequency.
o Campionamento di una sinusoide tempo continua e la sua ricostruzione, alla luce del teorema del campionamento. Effetto di: sovra-campionamento; sotto-campionamento a frequenza maggiore, minore o uguale alla frequenza massima del segnale.
o Campionamento non corretto e artefatti dovuti alla sovrapposizione delle repliche spettrali (componenti ad alta frequenza che si propongono come componenti a bassa frequenza, genericamente definito come fenomeno di "alias").
o Ricostruzione (interpolazione) di segnali-discreti al fine di ottenere segnali tempo-continui (conversione D/A).
o Ricostruzione per mantenimento (Zero Order Hold, Z.O.H.) con polinomio di ordine zero.
o Interpolazione lineare. Implementazione tramite kernel triangolare. Cenni di interpolazione quadratica.
o Interpolazione lineare. Ricostruzione per interpolazione lineare. Interpolazione tramite un kernel di ricostruzione. Altri "kernel" di interpolazione. Definizione di interpolatore ottimo: andamento nel tempo e limitazioni al suo utilizzo pratico.

· Filtri digitali (prima parte)
o Introduzione ai sistemi a tempo-discreto e loro rappresentazione tramite equazione alle differenze.
o Caratterizzazione dei sistemi tempo-discreto: causalità, anti-causalità e a-causalità; linearità; tempo-invarianza.
o Segnali discreti notevoli: segnale impulso (delta di Kronecker); gradino causale e anticausale.
o Sistemi Lineari e Tempo Invarianti (LTI): risposta all'impulso; uscita del sistema ad un qualunque ingresso x[n] come convoluzione tra la risposta all'impulso e x[n].
o Proprietà dell'operazione di convoluzione: commutativa, associativa, distributiva rispetto alla somma. Elemento neutro della convoluzione.
o Sistemi Finite Impulse Response (risposta all'impulso finita o FIR) e Infinite Impulse Response (o IIR).
o Risposta di un sistema LTI quando l'ingresso è una cosinusoide. Definizione di risposta in frequenza e formula analitica per un sistema FIR. Proprietà della risposta in frequenza di un sistema LTI: periodicità e simmetria coniugata. Rappresentazione grafica del modulo e della fase (o parte reale e parte immaginaria) della risposta in frequenza
o Forma generica della equazione alle differenze di un sistema LTI: parte autoregressiva (o AR) e parte a media mobile (o MA). Constatazione che un sistema LTI con la sola parte MA è necessariamente FIR.
o Composizione di sistemi (cascata o serie; parallelo).
o Filtri ideali: definizione tramite caratterizzazione del modulo della risposta in frequenza.
o Esempi: risposta all'impulso e in frequenza di un sistema ritardo e amplificatore ideale; filtro passa basso e passa alto FIR con supporto compatto a tre campioni.
o Utilizzo di filtri digitali su segnali campionati (relazione tra frequenza di taglio discreta ed equivalente nel tempo-continuo).

PARTE SECONDA

· Trasformata di Fourier a Tempo Discreto (DTFT)
o Definizione. Formula di analisi: interpretazione in termini di prodotto scalare tra una base funzionale discreta e il segnale. Formula di sintesi (o trasformata inversa a tempo discreto di Fourier - IDTFT). "Dualità" tra DTFT e IDTFT.
o Proprietà della DTFT: periodicità e simmetria coniugata; linearità; unicità; ritardo temporale; ritardo in frequenza; convoluzione; riflessione o folding (segnale valutato in -n).
o Condizioni di esistenza della DTFT.
o Analogie tra la serie di Fourier e la DTFT.
o Esempi di DTFT: 1) impulso discreto (delta di Kronecker); 2) esponenziale causale decrescente; 3) DTFT di un segnale discreto modulato in ampiezza; 4) DTFT di un segnale "rettangolare" (o finestra rettangolare); 5) DTFT di una porzione di coseno tempo discreto; 6) DTFT di un coseno tempo discreto e suo spettro.
o Esempio IDTFT: funzione box e suoi casi limite (delta di Dirac e costante).
o Energia di un segnale tempo discreto. Teorema (o legge di conservazione) di Parseval.
o Definizione di correlazione: auto- e cross-correlazione. Filtraggio basato sulla convoluzione: "matched filter".
o Proprietà della correlazione: 1) NON è commutativa; 2) può essere calcolata utilizzando l'operazione di convoluzione.
o DTFT della funzione di autocorrelazione: definizione di densità spettrale. Cenni di dimostrazione della legge di conservazione di Parseval.

· Studio dei sistemi LTI nel domino delle frequenze
o Risposta in frequenza di un sistema come DTFT della risposta all'impulso. Uscita di un sistema LTI come prodotto della risposta in frequenza e della DTFT del segnale in ingresso. Equivalentemente: risposta in frequenza di un sistema LTI come rapporto tra la DTFT di y[n] e la DTFT di x[n].
o Uscita di un sistema LTI come composizione lineare degli effetti del sistema sulle singole (infinite) sinusoidi in cui la DTFT decompone il segnale di ingresso.
o Filtri ideali: definizione e modulo della loro DTFT.
o Operazione di correlazione e legame con la convoluzione.
o DTFT della correlazione di due segnali a tempo-discreto.

· Trasformata Discreta di Fourier e sue applicazioni
o DTFT di un segnale composto da un numero finito di campioni. Introduzione alla Trasformata Discreta di Fourier (DFT). DFT come operatore lineare (matriciale).
o Numero di campioni in frequenza e risoluzione spettrale. Utilizzo della DFT per l'approssimazione della DTFT in un numero finito di frequenze equispaziate tra 0 e 2π.
o DFT inversa (IDFT): definizione. Periodicizzazione implicita imposta alla sequenza x[n] dalla DFT inversa.
o DFT e proiezione del segnale tempo discreto a supporto compatto sulla base ortonormale periodica discreta di dimensione N. Parallelismo con serie di Fourier e DTFT.
o Proprietà della DFT: simmetria coniugata e periodicità di N campioni.
o Operazione di zero-padding (bordatura con zeri) di un segnale tempo-discreto.
o Implicazioni della periodicizzazione implicita imposta a x[n] dalla DFT: ritardo e traslazione circolare/periodica; convoluzione circolare e DFT. Zero padding come possibile rimedio allorquando si usa la IDFT per calcolare la convoluzione di due sequenze limitate nel tempo (evitando gli effetti della convoluzione circolare).
o Algoritmo Fast Fourier Transform (FFT): introduzione e idea fondamentale alla base dell'algoritmo di calcolo. Stima del numero di moltiplicazioni necessarie per la DFT secondo definizione o utilizzando l'algoritmo FFT.
o Estensione del teorema di Parseval ai coefficienti della DFT.

· Filtri digitali (seconda parte)
o Filtraggio nel tempo e filtraggio in frequenza.
o Soluzione iterativa di equazione alle differenze autoregressiva del primo ordine.
o Sistemi IIR: i) calcolo della risposta in frequenza come DTFT della risposta all'impulso; ii) calcolo della risposta in frequenza tramite il calcolo della DTFT dell'equazione alle differenze; iii) risposta in frequenza di un filtro LTI a partire dall'equazione alle differenze completa.

· Trasformata zeta e sue applicazioni ai sistemi LTI
o Trasformata zeta: definizione.
o Esempi di trasformata zeta: 1) Segnale a supporto compatto; 2) Esponenziale causale e anticausale: definizione della regione di convergenza (ROC) della trasformata zeta.
o Proprietà della trasformata zeta: 0) unicità (includendo la R.O.C); 1) linearità; 2) ritardo temporale; 3) convoluzione; 4) simmetria radiale della R.O.C.
o Funzione di trasferimento come trasformata zeta della risposta all'impulso ed, equivalentemente, come rapporto delle trasformate zeta dell'uscita e dell'ingresso.
o Funzione di trasferimento di un generico sistema LTI, ottenuta dalla trasformata Z di entrambi i lati dell'equazione alle differenze generica (per un sistema causale).
o Zeri e poli di una funzione di trasferimento ed in genere di una trasformata zeta. Diagramma poli-zeri.
o Risposta in frequenza ottenuta dalla valutazione della trasformata zeta sul cerchio di raggio unitario (se incluso nella ROC). Effetto della presenza di uno zero o di un polo sul modulo della trasformata zeta. Stime empiriche dell'andamento del modulo della risposta in frequenza a partire dal diagramma poli-zeri.
o Inversione della trasformata zeta tramite "table look up". Trasformata z inversa tramite espansione in fratti semplici con il metodo dei residui (solo per poli singoli).
o Sistemi FIR "all zeros" (con poli solo in 0). Sistemi IIR "all poles" (con zeri solo in 0). Ordine di un filtro LTI (FIR e IIR).
o Risposta di un generico sistema LTI del primo ordine quando l'ingresso è uno scalino causale: risposta transitoria e a regime.
o Definizione di stabilità Bounded Input Bounded Output (BIBO) di un sistema.
o Condizione necessaria e sufficiente per la BIBO stabilità di un sistema LTI: assoluta sommabilità della risposta all'impulso. Cenni di dimostrazione della parte sufficiente del teorema. Condizione (alternativa) necessaria e sufficiente per la BIBO stabilità di un sistema LTI: cerchio di raggio unitario appartenente alla ROC del sistema. Cenni di dimostrazione della parte sufficiente. Corollario circa le condizioni sulle posizioni di poli e zeri di un sistema causale e anticausale BIBO stabile. Stabilità certa di un sistema FIR.
o Cancellazione di poli e zeri: equazioni alle differenze con parte autoregressiva anche per sistemi FIR. Esempio: filtro comb (a pettine).
o Funzione di trasferimento di sistemi LTI applicati in cascata o in parallelo.
o Definizione di sistema inverso. Deconvoluzione (cenni).
o Cenni sull'instabilità numerica dei filtri IIR indotta dall'approssimazione dei coefficienti del filtro, durante l'implementazione pratica. Rimedi: applicazione in cascata di sistemi di ordine inferiore in cui i poli troppo vicini vengono separati.
o Progettazione di filtri IIR e FIR in base a collocamento diretto di poli e zeri.
o Progettazione di filtri FIR per troncamento della risposta all'impulso di filtri ideali. Similitudine tra la trasformata inversa a tempo discreto di Fourier e la formula per il calcolo dei coefficienti della serie di Fourier: fenomeno di Gibbs dovuto al troncamento della risposta all'impulso.