Dualità categoriali in logica e algebra
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
Il corso è un'introduzione alla teoria delle dualità categoriale fra algebra e topologia in vari ambiti della matematica, comprese la Dualità di Stone fra reticoli distributivi e gli spazi spettrali e fra le algebre di Boole e gli spazi di Stone, la teoria di Stone-Gelfand-Yosida sulle dualizzazioni della categoria degli spazi compatti e di Hausdorff e la Dualità di Pontryagin per i gruppi abeliani. Il corso presenta strumenti e metodi categoriali e algebrici sufficientemente generali sia per lo studio dei teoremi di dualità citati in un quadro concettuale uniforme.
Risultati apprendimento attesi
Comprensione della teoria delle aggiunzioni duali concrete e del suo significato concettuale; acquisizione di competenze dettagliate su classiche teorie della dualità specifiche.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Nota: Solo una parte del programma indicato in calce è svolta nelle lezioni. Fino al punto 7 il programma è solitamente svolto nella sua interezza. I punti successivi, tempo permettendo, sono parzialmente svolti anche a seconda degli interessi manifestati dalla classe.
1. Breve introduzione storica e concettuale. Esempi guida motivanti di dualità.
2. Richiami di teoria delle categorie.
3. Teoria generale delle aggiunzioni duali concrete. Oggetti dualizzanti. Discesa alle sottocategorie piene dualmente equivalenti.
4. Preliminari sui reticoli e le algebre di Boole.
5. Preliminari sugli spazi spettrali, di Priestley e di Stone.
6. Dualità di Stone, I: Reticoli distributivi e Spazi spettrali.
7. Dualità di Stone, II: Algebre di Boole e Spazi di Stone. Cenni ad approfondimenti (dualità fra probabilità e misura).
8. Preliminari sugli spazi lineari ordinati.
9. Dualità di Stone-Gelfand-Yosida: Spazi lineari reticolati e Spazi compatti e di Hausdorff. Cenni ad approfondimenti (C*-algebre commutative; Stati; Teorema di Rappresentazione di Riesz.)
10. Preliminari sui gruppi topologici e sul Teorema di Peter-Weyl.
11. Dualità di Pontryagin: Gruppi abeliani e gruppi abeliani compatti. Cenni ad approfondimentii (misura di Haar; trasformata di Fourier).
12. Cenni a sviluppi recenti nella ricerca.
1. Breve introduzione storica e concettuale. Esempi guida motivanti di dualità.
2. Richiami di teoria delle categorie.
3. Teoria generale delle aggiunzioni duali concrete. Oggetti dualizzanti. Discesa alle sottocategorie piene dualmente equivalenti.
4. Preliminari sui reticoli e le algebre di Boole.
5. Preliminari sugli spazi spettrali, di Priestley e di Stone.
6. Dualità di Stone, I: Reticoli distributivi e Spazi spettrali.
7. Dualità di Stone, II: Algebre di Boole e Spazi di Stone. Cenni ad approfondimenti (dualità fra probabilità e misura).
8. Preliminari sugli spazi lineari ordinati.
9. Dualità di Stone-Gelfand-Yosida: Spazi lineari reticolati e Spazi compatti e di Hausdorff. Cenni ad approfondimenti (C*-algebre commutative; Stati; Teorema di Rappresentazione di Riesz.)
10. Preliminari sui gruppi topologici e sul Teorema di Peter-Weyl.
11. Dualità di Pontryagin: Gruppi abeliani e gruppi abeliani compatti. Cenni ad approfondimentii (misura di Haar; trasformata di Fourier).
12. Cenni a sviluppi recenti nella ricerca.
Prerequisiti
Nessun prerequisito specifico. Una certa familiarità con il linguaggio della teoria delle categorie risulterà utile, ma tutte le nozioni necessarie saranno presentato a lezione.
Metodi didattici
Lavagna, diapositive, dispense.
Materiale di riferimento
Per il necessario materiale di teoria delle categorie, le parti rilevanti di:
1. S. MacLane, "Categories for the Working Mathematician", Springer, 1978
2. E. Riehl. "Category Theory in Context", Dover, 2014
Per la parte principale del corso:
3. P. Johnstone, "Stone Spaces", Cambridge University Press, 1986.
Altri riferimenti su argomenti specifici saranno dati a lezione.
1. S. MacLane, "Categories for the Working Mathematician", Springer, 1978
2. E. Riehl. "Category Theory in Context", Dover, 2014
Per la parte principale del corso:
3. P. Johnstone, "Stone Spaces", Cambridge University Press, 1986.
Altri riferimenti su argomenti specifici saranno dati a lezione.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Verifica scritta e successivo esame orale sugli argomenti del corso. Progetti specifici concordati col docente in parziale o totale sostituzione dell'esame.
MAT/01 - LOGICA MATEMATICA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente:
Marra Vincenzo
Turni:
Turno
Docente:
Marra VincenzoSiti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento
Dipartimento di Matematica "Federigo Enriques", via Cesare Saldini 50, studio 2048