Controllo stocastico e ottimizzazione
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
Saranno presentati i problemi, i metodi e i risultati fondamentali dell'ottimizzazione di sistemi dinamici stocastici, a tempo discreto e continuo, su orizzonte finito o infinito. I sistemi a tempo continuo saranno per lo più descritti da equazioni differenziali stocastiche. Si considereranno gli approcci basati sulla programmazione dinamica, l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman(compresi casi di soluzioni con bassa regolarità), le equazioni differenziali stocastiche "backward", il principio del massimo stocastico (nel senso di Pontryagin). Verranno anche più brevemente introdotti altri problemi di ottimizzazione quali l'arresto ottimo o il controllo impulsivo. Saranno presentate applicazioni ad alcune classi di modelli fondamentali, ad esempio i problemi di investimento ottimale in Finanza Matematica o il controllo ottimo lineare quadratico.
Risultati apprendimento attesi
Gli studenti che frequentano il corso avranno familiarità con varie classi di problemi di controllo e di ottimizzazione per sistemi stocastici (a tempo discreto, a tempo continuo per modelli descritti da equazioni differenziali stocastiche, su orizzonte finito o infinito) e conosceranno i metodi fondamentali per affrontarli: la programmazione dinamica e le equazioni di Hamilton-Jacobi-Bellman, le equazioni differenziali stocastiche retrograde ("backward"), il principio del massimo stocastico. Avranno anche visto l'analisi di modelli importanti quali i problemi di investimento ottimale in Finanza Matematica e i problemi lineari quadratici.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
1) Introduzione al controllo ottimo tramite applicazioni in economia, finanza e ingegneria.
2) Controllo ottimo di equazioni differenziali stocastiche.
Equazioni differenziali stocastiche controllate, funzionali di costo o guadagno su orizzonte finito o infinito. Funzione valore e principio di programmazione dinamica. Equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) di tipo ellittico o parabolico. Soluzioni regolari dell'equazione HJB e teoremi di verifica. Controllo ottimo lineare quadratico. Introduzione alle soluzioni generalizzate dell'equazione di HJB nel senso della viscosità. Applicazione al problema di investimento ottimale.
3) Equazioni differenziali stocastiche retrograde ("backward").
Formulazione e risultati di esistenza e unicità. Rappresentazione probabilistica per soluzioni di equazioni a derivate parziali semilineari e per la funzione valore di un problema di controllo stocastico. Principio del massimo stocastico nel senso di Pontryagin.
4) Cenni ad altri problemi e metodi.
In dipendenza dalle circostanze, durante lo svolgimento del programma potranno essere presentati approfondimenti su vari argomenti quali il controllo ergodico, i problemi di arresto ottimale, i problemi di commutazione ("switching") ottimale, il controllo impulsivo.
2) Controllo ottimo di equazioni differenziali stocastiche.
Equazioni differenziali stocastiche controllate, funzionali di costo o guadagno su orizzonte finito o infinito. Funzione valore e principio di programmazione dinamica. Equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) di tipo ellittico o parabolico. Soluzioni regolari dell'equazione HJB e teoremi di verifica. Controllo ottimo lineare quadratico. Introduzione alle soluzioni generalizzate dell'equazione di HJB nel senso della viscosità. Applicazione al problema di investimento ottimale.
3) Equazioni differenziali stocastiche retrograde ("backward").
Formulazione e risultati di esistenza e unicità. Rappresentazione probabilistica per soluzioni di equazioni a derivate parziali semilineari e per la funzione valore di un problema di controllo stocastico. Principio del massimo stocastico nel senso di Pontryagin.
4) Cenni ad altri problemi e metodi.
In dipendenza dalle circostanze, durante lo svolgimento del programma potranno essere presentati approfondimenti su vari argomenti quali il controllo ergodico, i problemi di arresto ottimale, i problemi di commutazione ("switching") ottimale, il controllo impulsivo.
Prerequisiti
Il corso presuppone la conoscenza dei contenuti di un corso relativamente avanzato di teoria della probabilità (basata sulla teoria della misura). Costituiscono prerequisito del corso anche alcune nozioni sui processi stocastici (in particolare le martingale e i processi di Markov), l'integrazione stocastica rispetto al moto browniano, il calcolo stocastico collegato e le equazioni differenziali stocastiche guidate dal moto browniano.
Metodi didattici
Lezione frontale. La frequenza alle lezioni ed esercitazioni non è obbligatoria, ma è molto consigliata.
Materiale di riferimento
Libro di testo:
H. Pham. Continuous-time Stochastic Control and Optimization with Financial Applications. Springer, 2009.
Nota: questo testo costituisce la bibliografia consigliata, che copre buona parte del programma, altri riferimenti verranno dati durante le lezioni se necessario.
H. Pham. Continuous-time Stochastic Control and Optimization with Financial Applications. Springer, 2009.
Nota: questo testo costituisce la bibliografia consigliata, che copre buona parte del programma, altri riferimenti verranno dati durante le lezioni se necessario.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova orale.
Durante tale prova verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, nonché degli studi di casi svolti nel corso, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati e la capacità di saperli applicare.
Il voto è espresso in trentesimi.
Durante tale prova verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, nonché degli studi di casi svolti nel corso, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati e la capacità di saperli applicare.
Il voto è espresso in trentesimi.
MAT/06 - PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 6
Esercitazioni: 12 ore
Lezioni: 35 ore
Lezioni: 35 ore
Docenti:
Campi Luciano, Fuhrman Marco Alessandro
Turni:
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento
Ufficio 1040, Dipartimento di Matematica, Via Saldini 50, 20133 Milano
Ricevimento:
Lunedì 10:30-13:30 (con preavviso, salvo impegni accademici)
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, studio 1017. Il ricevimento si svolge in remoto in caso di condizioni di emergenza sanitaria.