Calcolo stocastico ed applicazioni
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
Obiettivo dell'insegnamento è quello di fornire un'introduzione al calcolo stocastico, con particolare riferimento al calcolo di Ito.
A partire dalle definizioni e dai risultati fondamentali della teoria dei processi stocastici e, in particolare, del moto browniano, si introduce l'integrale stocastico secondo Ito e si esplorano le sue principali proprietà. Si studiano inoltre le equazioni differenziali stocastiche, dimostrando esistenza e unicità delle soluzioni nel caso Lipschitz. Infine, si presentano alcune applicazioni in analisi matematica, come ad esempio la formula di Feynman-Kac, che mettono in luce il legame tra equazioni differenziali stocastiche ed equazioni alle derivate parziali.
A partire dalle definizioni e dai risultati fondamentali della teoria dei processi stocastici e, in particolare, del moto browniano, si introduce l'integrale stocastico secondo Ito e si esplorano le sue principali proprietà. Si studiano inoltre le equazioni differenziali stocastiche, dimostrando esistenza e unicità delle soluzioni nel caso Lipschitz. Infine, si presentano alcune applicazioni in analisi matematica, come ad esempio la formula di Feynman-Kac, che mettono in luce il legame tra equazioni differenziali stocastiche ed equazioni alle derivate parziali.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente apprenderà la nozione di integrale stocastico, le sue principali proprietà e alcuni importanti risultati di calcolo stocastico ad esso collegati. Inoltre sarà in grado di risolvere alcune classi di equazioni differenziali stocastiche, di studiarne le proprietà principali, anche sfruttando le relazioni tra queste e le equazioni alle derivate parziali.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Moto browniano
- Proprietà del moto browniano
- Misura di Wiener
- Legge del logaritmo iterato
- Principio di riflessione e distribuzione del "running supremum"
Integrale stocastico e calcolo stocastico
- Costruzione dell'integrale stocastico secondo Itô e sue proprietà
- Formula di Itô
- Integrale stocastico multidimensionale
- Caratterizzazione di Lévy del moto browniano
- Teorema di Girsanov
- Teorema di rappresentazione delle martingale browniane
Equazioni differenziali stocastiche
- Definizioni di soluzione forte/debole, definizioni di unicità per traiettorie/in legge
- Stime a priori
- Esistenza e unicità di soluzioni forti
- Dipendenza dai dati iniziali
- Proprietà di Markov
- Soluzioni deboli e teorema di Girsanov
Equazioni differenziali stocastiche ed equazioni alle derivate parziali
- Rappresentazione probabilistica per soluzioni classiche di problemi di Dirichlet o Cauchy-Dirichlet.
- Formula di Feynman-Kač
- Equazioni di Kolmogorov in avanti e all'indietro
- Proprietà del moto browniano
- Misura di Wiener
- Legge del logaritmo iterato
- Principio di riflessione e distribuzione del "running supremum"
Integrale stocastico e calcolo stocastico
- Costruzione dell'integrale stocastico secondo Itô e sue proprietà
- Formula di Itô
- Integrale stocastico multidimensionale
- Caratterizzazione di Lévy del moto browniano
- Teorema di Girsanov
- Teorema di rappresentazione delle martingale browniane
Equazioni differenziali stocastiche
- Definizioni di soluzione forte/debole, definizioni di unicità per traiettorie/in legge
- Stime a priori
- Esistenza e unicità di soluzioni forti
- Dipendenza dai dati iniziali
- Proprietà di Markov
- Soluzioni deboli e teorema di Girsanov
Equazioni differenziali stocastiche ed equazioni alle derivate parziali
- Rappresentazione probabilistica per soluzioni classiche di problemi di Dirichlet o Cauchy-Dirichlet.
- Formula di Feynman-Kač
- Equazioni di Kolmogorov in avanti e all'indietro
Prerequisiti
Conoscenze delle basi della teoria della probabilità (in particolare, la costruzione degli spazi di probabilità, vettori aleatori reali, valore atteso condizionato e dei vari tipi di convergenza) e dei processi stocastici (martingale e processi di Markov). E' fortemente consigliato l'aver seguito i corsi di Probabilità e di Probabilità Avanzata.
Metodi didattici
Le lezioni saranno tenute in aula con l'ausilio della lavagna classica e/o del tablet.
Materiale di riferimento
- P. Baldi, Stochastic Calculus. An Introduction Through Theory and Exercises, Springer, 2017.
Altre referenze:
- I. Karatzas, S. E. Shevre, Brownian Motion and Stochastic Calculus, second edition, Springer, 1991.
- D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, third edition, Springer, 1999.
- F. Caravenna, Moto browniano e analisi stocastica, 2011.
Altre referenze:
- I. Karatzas, S. E. Shevre, Brownian Motion and Stochastic Calculus, second edition, Springer, 1991.
- D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, third edition, Springer, 1999.
- F. Caravenna, Moto browniano e analisi stocastica, 2011.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste in un colloquio orale. Verrà richiesto di illustrare e discutere alcuni risultati facenti parte del programma del corso, nonché di risolvere qualche problema nell'ambito del programma stesso, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli connettere e applicare correttamente.
MAT/06 - PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 9
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 49 ore
Lezioni: 49 ore
Docenti:
Campi Luciano, Cosso Andrea
Turni:
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento
Ufficio 1040, Dipartimento di Matematica, Via Saldini 50, 20133 Milano
Ricevimento:
Su appuntamento per email
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, studio 1027 oppure tramite Microsoft Teams