Calcolo delle variazioni

Programma Preliminare, suscettibile di modifiche (non sostanziali)
- Introduzione al calcolo delle variazioni: cenni storici al problema isoperimetrico. La Brachistocrona e il controesempio di Weiestrass
- Il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni: richiami su spazi funzionali. Derivazione secondo Frechet e Gateaux e proprietà. Operatore di Nemintski tra spazi di Lebesgue e sue proprietà. Richiami sugli spazi di Sobolev. Immersioni di Sobolev: analisi del caso non compatto. Breve cenno ai casi limite. Operatore di Nemitskii tra spazi di Sobolev. Ottimizzazione in spazi di Banach: funzioni semi-continue inferiormente e teoremi dell'esistenza di minimi su insiemi debolmente chiusi e per funzionali coercivi. Il ruolo della convessità. Applicazioni a equazioni differenziali.
- Operatori differenziali ellittici del second'ordine. Minimizzazione vincolata. Il teorema della funzione implicita. Il funzionale energia e i moltiplicatori di Lagrange. Primo autovalore del Laplaciano. Applicazione della minimizzazione vincolata all'equazione polinomiale con crescita sottocritica.
- Teoremi di minimax. Punti critici di funzionali e topologia dei sottolivelli: il lemma di deformazione. La condizione di Palais-Smale. Pseudogradienti. Esistenza di pseudo gradienti per funzionali C^1. Il Teorema del Passo di Montagna. Applicazioni all'esistenza di soluzioni per PDE. Breve cenno al grado topologico. Il teorema di Sella e applicazioni.
Linking topologico e applicazioni.
- Problemi con perdita di compattezza: problemi ellittici con crescita critica. La miglior costante di immersione di Sobolev, l' Identità di Pohozaev. Breve cenno alla simmetrizzazione decrescente e sferica. Il risultato di Brezis e Nirenberg.
- Funzionali pari: breve cenno all'indice di Krasnoselskii. Il teorema del Passo di Montagna Simmetrico.