Argomenti avanzati di teoria analitica dei numeri
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
Nonostante Cantor abbia dimostrato che quasi ogni numero reale di fatto è trascendente, dimostrare che numeri assegnati siano effettivamente trascendenti si è rivelato essere un problema estremamente
complicato, per il quale sono state sviluppate tecniche via via più sofisticate. Nel corso si esporranno alcune di queste tecniche ed alcuni dei principali risultati raggiunti.
complicato, per il quale sono state sviluppate tecniche via via più sofisticate. Nel corso si esporranno alcune di queste tecniche ed alcuni dei principali risultati raggiunti.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente conoscerà alcuni dei principali risultati di irrazionalità e trascendenza e delle tecniche dimostrative principali tipiche della disciplina.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Topic 1: Irrazionalità: alcuni classici risultati semplici e meno semplici sulla irrazionalità di e, pi greco ed altre quantità.
Topic 2: frazioni continue.
Topic 3: Teorema di Lindemann-Weierstrass, il teorema dei sei esponenziali, il teorema di Lang-Schneider e di Gelfond-Schneider e la trascendenza degli invarianti delle curve ellittiche complesse.
Topic 4: Risultati di Baker sulla trascendenza di somme di logaritmi e discussione di alcune sue conseguenze tra cui la soluzione del problema di Gauss sulla classificazione dei campi quadratici complessi con fattorizzazione unica.
Topic 2: frazioni continue.
Topic 3: Teorema di Lindemann-Weierstrass, il teorema dei sei esponenziali, il teorema di Lang-Schneider e di Gelfond-Schneider e la trascendenza degli invarianti delle curve ellittiche complesse.
Topic 4: Risultati di Baker sulla trascendenza di somme di logaritmi e discussione di alcune sue conseguenze tra cui la soluzione del problema di Gauss sulla classificazione dei campi quadratici complessi con fattorizzazione unica.
Prerequisiti
Oltre ai contenuti del corsi di base di Analisi 1-2-3, è richiesta la conoscenza dei risultati di base dell'Analisi Complessa e della teoria degli anelli di campi di numeri. Nonostante il titolo "Argomenti avanzati di Teoria Analitica dei Numeri" possa far pensare diversamente, il corso di Teoria Analitica dei Numeri NON è un prerequisito.
Metodi didattici
Lezioni frontali la cui frequenza, sebbene non obbligatoria) è fortemente consigliata.
Materiale di riferimento
G. Molteni: Written notes (available day by day).
M. Ram Murty, Purusottam Rath: Transcendental Numbers, Springer, New-York, 2014.
J. Borwein, A. van der Poorten, J. Shallit, W. Zudilin: Neverending fractions, Cambridge University Press, Cambridge, 2014.
A. M. Rockett, P. Szusz: Continued fractions, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1992.
M. Ram Murty, Purusottam Rath: Transcendental Numbers, Springer, New-York, 2014.
J. Borwein, A. van der Poorten, J. Shallit, W. Zudilin: Neverending fractions, Cambridge University Press, Cambridge, 2014.
A. M. Rockett, P. Szusz: Continued fractions, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1992.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Esame orale sui contenuti del corso.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente:
Molteni Giuseppe
Turni:
Turno
Docente:
Molteni GiuseppeDocente/i
Ricevimento:
su appuntamento
Proprio ufficio: Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, primo piano, studio 1044.