Argomenti avanzati di analisi reale
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
Lo scopo del corso è di fornire una trattazione moderna e robusta della teoria della misura e dell'integrazione, e della differenziabilità di funzioni, iniziate nei corsi di Analisi Matematica 4 e Analisi Reale. In particolare, ci si propone di descrivere la generalizzazione dei teoremi fondamentali del calcolo a campi vettoriali debolmente differenziabili ed insiemi non lisci in ambiente euclideo, fornendo una introduzione sistematica alla Teoria Geometrica della Misura. In quest'ottica, si studieranno la differenziabilità quasi ovunque delle mappe lipschitziane, l'esistenza quasi ovunque di spazi tangenti ad insiemi rettificabili, la teoria degli insiemi di perimetro finito e delle funzioni a variazione limitata in dimensione arbitraria. Inoltre, si mostreranno applicazioni classiche della Teoria Geometrica della Misura alla risoluzione di alcuni problemi variazionali di carattere geometrico, e si fornirà una introduzione alla teoria della regolarità e l'analisi delle singolarità delle soluzioni, con particolare enfasi sulla teoria debole delle superfici minime.
Risultati apprendimento attesi
Conoscenza delle nozioni e delle tecniche di base di Teoria Geometrica della Misura in R^n: mappe Lipschitz, insiemi rettificabili, formule di area e coarea e applicazioni, teoria delle funzioni BV e degli insiemi di perimetro finito, densità e coni tangenti, formule di variazione del perimetro e regolarità parziale degli insiemi di perimetro minimo.
Periodo: Secondo semestre
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
- Richiami di teoria della misura e dell'integrazione: misure di Borel e di Radon negli spazi euclidei; misure di Hausdorff; teoremi di Egorov e Lusin; teorema della rappresentazione di Riesz; convergenza debole e compattezza debole di misure di Radon; teorema di differenziazione di Lebesgue-Besicovitch; derivata di Radon-Nikodym; misure con segno, misure vettoriali, e loro variazione totale.
- Teoremi di ricoprimento.
- Mappe lipschitziane e loro proprietà. Teorema di estensione. Teorema di Rademacher.
- Formula dell'area e sue conseguenze e applicazioni.
- Formula di coarea e sue conseguenze e applicazioni.
- Insiemi rettificabili e loro proprietà locali. Esistenza di spazi tangenti geometrici e approssimati quasi ovunque. Area e coarea per insiemi rettificabili.
- Insiemi di perimetro (localmente) finito e funzioni (localmente) BV. Misura di Gauss-Green. Regolarizzazione. Compattezza. Semicontinuità inferiore del perimetro. Problemi geometrici variazionali coinvolgenti il perimetro e teoremi di esistenza. Il problema isoperimetrico negli spazi euclidei.
- Frontiera ridotta e sue proprietà. Teorema di rettificabilità della frontiera ridotta. Teorema di Federer e teorema della divergenza di De Giorgi - Federer.
- Formula di variazione prima del perimetro. Curvatura media. Insiemi stazionari. Formula di monotonia per il rapporto di densità di massa. Esistenza della densità e coni tangenti. Stime di densità. Variazione seconda del perimetro. Stabilità.
- Cenni alla teoria della regolarità e all'analisi delle singolarità per minimi del perimetro e insiemi stazionari. Epsilon-regolarità. Teorema di Simons sui coni stabili e problema di Bernstein. Riduzione dimensionale di Almgren-Federer e stima della dimensione di Hausdorff dell'insieme singolare per minimi.
- Teoremi di ricoprimento.
- Mappe lipschitziane e loro proprietà. Teorema di estensione. Teorema di Rademacher.
- Formula dell'area e sue conseguenze e applicazioni.
- Formula di coarea e sue conseguenze e applicazioni.
- Insiemi rettificabili e loro proprietà locali. Esistenza di spazi tangenti geometrici e approssimati quasi ovunque. Area e coarea per insiemi rettificabili.
- Insiemi di perimetro (localmente) finito e funzioni (localmente) BV. Misura di Gauss-Green. Regolarizzazione. Compattezza. Semicontinuità inferiore del perimetro. Problemi geometrici variazionali coinvolgenti il perimetro e teoremi di esistenza. Il problema isoperimetrico negli spazi euclidei.
- Frontiera ridotta e sue proprietà. Teorema di rettificabilità della frontiera ridotta. Teorema di Federer e teorema della divergenza di De Giorgi - Federer.
- Formula di variazione prima del perimetro. Curvatura media. Insiemi stazionari. Formula di monotonia per il rapporto di densità di massa. Esistenza della densità e coni tangenti. Stime di densità. Variazione seconda del perimetro. Stabilità.
- Cenni alla teoria della regolarità e all'analisi delle singolarità per minimi del perimetro e insiemi stazionari. Epsilon-regolarità. Teorema di Simons sui coni stabili e problema di Bernstein. Riduzione dimensionale di Almgren-Federer e stima della dimensione di Hausdorff dell'insieme singolare per minimi.
Prerequisiti
Sono prerequisiti i contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1, 2, 3, 4, e Analisi Reale.
Alcuni contenuti del corso di Elementi di Analisi Funzionale (in particolare quelli relativi alla teoria della misura) saranno richiamati all'inizio del corso (senza dimostrazione). Pertanto, aver preventivamente fruito del corso di Elementi di Analisi Funzionale è consigliato, ma non obbligatorio.
Alcuni contenuti del corso di Elementi di Analisi Funzionale (in particolare quelli relativi alla teoria della misura) saranno richiamati all'inizio del corso (senza dimostrazione). Pertanto, aver preventivamente fruito del corso di Elementi di Analisi Funzionale è consigliato, ma non obbligatorio.
Metodi didattici
Il corso si svolge per mezzo di lezioni frontali.
La frequenza è altamente consigliata.
La frequenza è altamente consigliata.
Materiale di riferimento
- F. Maggi - Sets of finite perimeter and geometric variational problems. An introduction to Geometric Measure Theory. Cambridge University Press. 2012.
- L.C. Evans and R.F. Gariepy - Measure theory and fine properties of functions. CRC Press. 1992.
- L. Simon - Lectures on Geometric Measure Theory. Australian National University, Centre for Mathematical Analysis. 1983.
- L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara - Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford Science Publications. 2000.
- L.C. Evans and R.F. Gariepy - Measure theory and fine properties of functions. CRC Press. 1992.
- L. Simon - Lectures on Geometric Measure Theory. Australian National University, Centre for Mathematical Analysis. 1983.
- L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara - Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford Science Publications. 2000.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste in una prova orale sugli argomenti discussi nel corso. La prova intende verificare la conoscenza e la comprensione degli argomenti trattati, delle relazioni che intercorrono tra essi, e delle tecniche dimostrative, e la capacità dello studente di applicare quanto appreso in situazioni concrete.
Durante le lezioni, potranno essere assegnati alcuni esercizi da svolgere a casa, con l'obiettivo di facilitare l'apprendimento delle nozioni teoriche proposte per mezzo di esempi concreti. Lo svolgimento di tali problemi è lasciato alla discrezione dello studente, ma problemi simili potranno essere proposti durante la prova orale.
L'esame si intende superato quando sia superata la prova orale. La valutazione, espressa in trentesimi, verrà comunicata immediatamente al termine della prova orale.
Durante le lezioni, potranno essere assegnati alcuni esercizi da svolgere a casa, con l'obiettivo di facilitare l'apprendimento delle nozioni teoriche proposte per mezzo di esempi concreti. Lo svolgimento di tali problemi è lasciato alla discrezione dello studente, ma problemi simili potranno essere proposti durante la prova orale.
L'esame si intende superato quando sia superata la prova orale. La valutazione, espressa in trentesimi, verrà comunicata immediatamente al termine della prova orale.
Docente/i
Ricevimento:
Previo appuntamento da richiedere via email
Studio 1005, Dipartimento di Matematica, Via Cesare Saldini 50, primo piano o su Zoom da remoto