Analisi reale
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
Lo scopo del corso è introdurre gli studenti alle aspetti fondamentali della moderna Analisi Reale, con particolare attenzione alle questioni inerenti gli spazi di Lebesgue e gli spazi di Hilbert.
Risultati apprendimento attesi
Acquisizione e familiarità delle proprietà basilari dell'analisi reale in particolare della teoria degli spazi di Lebesgue e di Hilbert. Gli studenti saranno in grado di fornire in modo autonomo dimostrazioni di affermazioni elementari, e saranno in grado di spiegare in modo rigoroso gli aspetti teorici e pratici presentati durante l'insegnamento. Inoltre, gli studenti potenzieranno la loro capacità di lavorare insieme (in piccoli gruppi).
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
1. Differenziazione ed integrazione: Richiami sull'integrale di Lebesgue. Funzioni integrali ed il Teorema di Differenziazione di Lebesgue in Rn. Differenziazione di funzione monotone. Funzioni a variazione limitata, funzioni assolutamente continue ed il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale in R. Funzioni convesse ed la disuguaglianza di Jensen.
2. Spazi Lp: Definizione, disuguaglianze di Hölder e Minkowski, convergenza, completezza. Confronto fra tipi di convergenza. Il duale di Lp ed il Teorema di Rappresentazione di Riesz per Lp . Convoluzione e le disuguaglianze di Young. Approssimazione in Lp mediante funzioni regolari.
3. Spazi di Hilbert: Definizione e proprietà fondamentali. Proiezioni e teorema delle proiezioni. Funzionali lineari continui ed il Teorema di Rappresentazione di Riesz per spazi di Hilbert. Forme bilineari ed il Teorema di Lax-Milgram. Basi ortonormali e separabilità. Sviluppi in serie di Fourier ed esempi fondamentali di sistemi completi. Nuclei di convoluzione e convergenza puntuale di serie di Fourier. Operatori lineari limitati. Operatori normali e operatori compatti. Teorema spettrale per operatori compatti normali su spazi di Hilbert.
2. Spazi Lp: Definizione, disuguaglianze di Hölder e Minkowski, convergenza, completezza. Confronto fra tipi di convergenza. Il duale di Lp ed il Teorema di Rappresentazione di Riesz per Lp . Convoluzione e le disuguaglianze di Young. Approssimazione in Lp mediante funzioni regolari.
3. Spazi di Hilbert: Definizione e proprietà fondamentali. Proiezioni e teorema delle proiezioni. Funzionali lineari continui ed il Teorema di Rappresentazione di Riesz per spazi di Hilbert. Forme bilineari ed il Teorema di Lax-Milgram. Basi ortonormali e separabilità. Sviluppi in serie di Fourier ed esempi fondamentali di sistemi completi. Nuclei di convoluzione e convergenza puntuale di serie di Fourier. Operatori lineari limitati. Operatori normali e operatori compatti. Teorema spettrale per operatori compatti normali su spazi di Hilbert.
Prerequisiti
Conoscenza della teoria di misura ed integrazione incluso la teoria di Lebesgue e Hausdorff. Tale materiale viene trattato nel corso di Analisi Matematica 4.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni, entrambe fortemente consigliate.
Materiale di riferimento
- G. Molteni, Note del corso, disponibile sul sito web del corso.
- R.L. Wheeden and A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Vol 43, Marcel Dekker, Inc., New York, 1977.
- G. B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications, John Wiley & Sons, Inc, New York, 1999.
- E. Stein and R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert Spaces, Princeton Lectures in Analysis, Vol. III, Princeton University Press, Princeton, 2005.
- E. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton Lectures in Analysis, Vol. I, Princeton University Press, Princeton, 2003.
- E. H. Leib and M. Loss: Analysis, Second Edition, Graduate Studies in Mathematics, Vol 14, American Mathematical Society, Providence, 2001.
- R.L. Wheeden and A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Vol 43, Marcel Dekker, Inc., New York, 1977.
- G. B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications, John Wiley & Sons, Inc, New York, 1999.
- E. Stein and R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert Spaces, Princeton Lectures in Analysis, Vol. III, Princeton University Press, Princeton, 2005.
- E. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton Lectures in Analysis, Vol. I, Princeton University Press, Princeton, 2003.
- E. H. Leib and M. Loss: Analysis, Second Edition, Graduate Studies in Mathematics, Vol 14, American Mathematical Society, Providence, 2001.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di esercizi da risolvere a casa (tipicamente tre compiti a casa con diversi esercizi su ogni capitolo del corso) e una prova orale.
- Nei compiti a casa verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta, atti a verificare la capacità di risolvere problemi di sulla applicazione dei risultati principali e per testare la conoscenza delle definizioni importanti.
- Alla prova orale accedono solo gli studenti che hanno svolto in modo regolare i compiti a casa. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche problema legato alla comprensione delle definizioni principali, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
L'esame si intende superato se viene superata la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
- Nei compiti a casa verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta, atti a verificare la capacità di risolvere problemi di sulla applicazione dei risultati principali e per testare la conoscenza delle definizioni importanti.
- Alla prova orale accedono solo gli studenti che hanno svolto in modo regolare i compiti a casa. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche problema legato alla comprensione delle definizioni principali, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
L'esame si intende superato se viene superata la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 9
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 49 ore
Lezioni: 49 ore
Docenti:
Molteni Giuseppe, Vesely Libor
Turni:
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
su appuntamento
Proprio ufficio: Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, primo piano, studio 1044.
Ricevimento:
si veda la pagina personale del docente.
Via saldini, 50, II piano (vicino all'ascensore)