Algebra superiore

A.A. 2024/2025
6
Crediti massimi
42
Ore totali
SSD
MAT/02
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
L'obiettivo del corso è quello di fornire un'introduzione alla geometria aritmetica non-archimedea attraverso il linguaggio degli spazi adici, degli schemi formali e degli anelli condensati. Verranno discussi esempi fondamentali come le varietà analitiche di Tate, gli spazi perfettoidi di Scholze e le curve di Fargues-Fontaine con particolare enfasi alle applicazioni di questo formalismo per lo studio di coomologie p-adiche.
Risultati apprendimento attesi
Al termine del corso gli studenti avranno appreso il linguaggio e gli strumenti tipici della geometria non-archimedea moderna, che sono alla base dei recenti sviluppi della teoria di Hodge p-adica.
Corso singolo

Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.

Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Secondo semestre

Programma
Introduzione alla geometria analitica non-archimedea e alle sue applicazioni in geometria aritmetica.

- Definizioni di base della teoria degli spazi adici: valutazioni, anelli di Huber. Esempi: spazi perfettoidi, il tilting, la curva di Fargues-Fontaine.
- Definizioni di base della teoria di Raynaud: schemi formali e blow-up, specializzazione.
- Coomologia di de Rham per spazi analitici: strutture dagger, anelli analitici di Clausen-Scholze, teoria dell'omotopia.
- Coomologia rigida.
Prerequisiti
Elementi di algebra commutativa e di geometria algebrica (contenuto dei corsi di Algebra 3-4 e Geometria Algebrica Proiettiva oppure Teoria degli Schemi).
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Materiale di riferimento
Roland Huber "Continuous Valuations" & "A Generalization of Formal Schemes and Rigid Analytic Varieties"
Sophie Morel "Adic Spaces" Lecture Notes
Matthew Morrow "Adic and perfectoid spaces" Lecture Notes
Bhargav Bhatt "Lecture notes for a class on perfectoid spaces"
Peter Scholze "Perfectoid Spaces"
Jean-Marc Fontaine "Perfectoides, Presque-Purete et Monodromie-Poids" (Bourbaki)
Torsten Wedhorn "Adic Spaces" Lecture Notes
Peter Scholze, Jared Weinstein "Berkeley Lectures on p-adic Geometry"
Kazuhiro Fujiwara, Fumiharu Kato "Foundations of Rigid Geometry I"
Peter Scholze "Lectures on Analytic Geometry"
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Seminario su un argomento assegnato.
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente: Vezzani Alberto
Turni:
Turno
Docente: Vezzani Alberto
Docente/i
Ricevimento:
Giovedì 9.30-12.30 previo appuntamento
Studio 2093