Algebra 2
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
Obiettivo dell'insegnamento è quello di studiare alcune tra le strutture algebriche fondamentali, quali i semigruppi ed i gruppi.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente acquisirà le conoscenze di base su alcune strutture algebriche fondamentali (semigruppi e gruppi); saprà inoltre affrontare con rigore semplici dimostrazioni riguardanti proprietà gruppali.
Periodo: Primo semestre
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Il corso approfondirà alcune delle nozioni viste nel corso di Algebra 1, con particolare attenzione al concetto di gruppo. In sintesi gli argomenti trattati saranno i seguenti.
Moduli:
-Definizione di modulo e relative proprietà
-Sottomoduli e quozienti di moduli
-Teoremi di isomorfismo per moduli
-Teorema di struttura per i moduli su un PID
-Applicazioni del teorema di struttura: classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati, forma canonica di Jordan per endomorfismi
Gruppi:
-Definizione di gruppo e relative proprietà
-Sottogruppi e laterali. Quozienti.
- Gruppi liberi e presentazioni di un gruppo (generatori e relazioni).
- Omomorfismi e automorfismi di gruppi
- Sottogruppi normali e gruppi quoziente
- Gruppi ciclici, gruppi lineari, gruppi di permutazioni
- Commutatori e sottogruppo derivato
- Prodotti diretti e semidiretti
- Azioni di gruppi su insiemi: stabilizzatori, orbite, transitività, regolarità
- Teorema di Cayley e sue applicazioni
- p-gruppi e Teorema di Sylow
- Cenni alla risolubilità dei gruppi
Moduli:
-Definizione di modulo e relative proprietà
-Sottomoduli e quozienti di moduli
-Teoremi di isomorfismo per moduli
-Teorema di struttura per i moduli su un PID
-Applicazioni del teorema di struttura: classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati, forma canonica di Jordan per endomorfismi
Gruppi:
-Definizione di gruppo e relative proprietà
-Sottogruppi e laterali. Quozienti.
- Gruppi liberi e presentazioni di un gruppo (generatori e relazioni).
- Omomorfismi e automorfismi di gruppi
- Sottogruppi normali e gruppi quoziente
- Gruppi ciclici, gruppi lineari, gruppi di permutazioni
- Commutatori e sottogruppo derivato
- Prodotti diretti e semidiretti
- Azioni di gruppi su insiemi: stabilizzatori, orbite, transitività, regolarità
- Teorema di Cayley e sue applicazioni
- p-gruppi e Teorema di Sylow
- Cenni alla risolubilità dei gruppi
Prerequisiti
Fondamenti dell'algebra appresi nel corso di Algebra 1
Metodi didattici
Lezioni Frontali
Materiale di riferimento
Non si seguirà un testo preciso, ma verranno utilizzate più referenze. Alcuni testi di riferimento possono essere i seguenti:
M. Isaacs "Algebra, a graduate course" Brooks /Cole Publishing Company
A. Machì "Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi"
M. Isaacs "Algebra, a graduate course" Brooks /Cole Publishing Company
A. Machì "Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi"
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale.
- Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta, atti a verificare la capacità di risolvere problemi analoghi a quelli svolti nelle esercitazioni. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Sono previste due prove intermedie che sostituiscono la prova scritta del primo o del secondo appello. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie verranno comunicate sul SIFA attraverso il portale UNIMIA.
- Alla prova orale accedono solo gli Studenti che hanno superato la prova scritta (o le prove intermedie) dello stesso appello d'esame. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
- Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta, atti a verificare la capacità di risolvere problemi analoghi a quelli svolti nelle esercitazioni. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Sono previste due prove intermedie che sostituiscono la prova scritta del primo o del secondo appello. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie verranno comunicate sul SIFA attraverso il portale UNIMIA.
- Alla prova orale accedono solo gli Studenti che hanno superato la prova scritta (o le prove intermedie) dello stesso appello d'esame. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 6
Esercitazioni: 36 ore
Lezioni: 27 ore
Lezioni: 27 ore
Docenti:
Binda Federico, Montoli Andrea
Turni:
Docente/i
Ricevimento:
Giovedì dalle ore 10:30 alle ore 12:30, previo contatto per email.
Dipartimento di Matematica - Studio 2070.
Ricevimento:
su appuntamento via e-mail
studio 1014, Via Saldini 50