Sistemi dinamici 1
A.A. 2023/2024
Obiettivi formativi
L'obiettivo principale dell'insegnamento è quello di fornire agli studenti le basi della teoria elementare dei sistemi dinamici, con particolare riferimento alla nascita del caos nei sistemi deterministici e la persistenza di moti ordinati.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente acquisirà conoscenze e competenze nell'ambito di alcune importanti proprieta' dei sistemi non lineari.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Quello che segue è il programma dello scorso anno: in linea di massima resterà valido anche per la prossima eidzione, ma ci si riserva di effettuare variazioni in corsa.
PRIMA PARTE: CAOS.
A) Varietà stabile ed instabile. Teorema della varietà stabile.
B) Intersezioni omocline, dinamica caotica ed insiemi iperbolici
C) Teorema dell'orbita ombra, chaos in prossimità di intersezioni omocline.
D) Descrizione della dinamica caotica per il pendolo forzato con il metodo di Melnikov
SECONDA PARTE: TEORIA DELLE ORBITE PERIODICHE
A) Teorema di Poincarè di continuazione delle orbite periodiche. Calcolo degli
autovalori della linearizzazione della mappa di Poincare' e relazione con
i moltiplicatori di Floquet
B) Teorema del centro di Lyapunov (orbite periodiche prossime a quelle lineari nell'intorno di un punto di equilibrio ) con applicazione al problema dei tre corpi
TERZA PARTE: TEORIA DELLA FORMA NORMALE E TEOREMA DI SIEGEL
A) Teoria formale. Problema dell'esistenza di una trasformazione di
coordinate che riduce un'equazione differenziale alla sua parte lineare.
Risonanze. Teorema di Poincare' sull'esistenza di trasformazioni formali
che mettono in forma normale un sistema dinamico (cioe' esistenza di
una trasformazione che sposta i termini nonlineari a ordini
arbitrariamente alti)
B) Piccoli divisori e teorema di Siegel. Piccoli divisori in domini di
Poincare' e di Siegel. Condizioni di alta nonrsionanza di tipo diofanteo e
loro generalita'. Dimostrazione del fatto che i piccoli divisori crescono al
crescere dell'ordine in domini di Poincare', dimostrazione del fatto che i
piccoli divisori soddisfano a stime diofantee in insiemi di misura piena.
Schema della dimostrazione del teorema di Siegel (schema iterativo
formale e andamento "quadratico" delle stime).
APPENDICE: SISTEMI INFINITO DIMENSIONALI ED EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI
A) Dispersione nella catena di particelle infinita.
B) Orbite periodiche in equazioni a derivate parziali
PRIMA PARTE: CAOS.
A) Varietà stabile ed instabile. Teorema della varietà stabile.
B) Intersezioni omocline, dinamica caotica ed insiemi iperbolici
C) Teorema dell'orbita ombra, chaos in prossimità di intersezioni omocline.
D) Descrizione della dinamica caotica per il pendolo forzato con il metodo di Melnikov
SECONDA PARTE: TEORIA DELLE ORBITE PERIODICHE
A) Teorema di Poincarè di continuazione delle orbite periodiche. Calcolo degli
autovalori della linearizzazione della mappa di Poincare' e relazione con
i moltiplicatori di Floquet
B) Teorema del centro di Lyapunov (orbite periodiche prossime a quelle lineari nell'intorno di un punto di equilibrio ) con applicazione al problema dei tre corpi
TERZA PARTE: TEORIA DELLA FORMA NORMALE E TEOREMA DI SIEGEL
A) Teoria formale. Problema dell'esistenza di una trasformazione di
coordinate che riduce un'equazione differenziale alla sua parte lineare.
Risonanze. Teorema di Poincare' sull'esistenza di trasformazioni formali
che mettono in forma normale un sistema dinamico (cioe' esistenza di
una trasformazione che sposta i termini nonlineari a ordini
arbitrariamente alti)
B) Piccoli divisori e teorema di Siegel. Piccoli divisori in domini di
Poincare' e di Siegel. Condizioni di alta nonrsionanza di tipo diofanteo e
loro generalita'. Dimostrazione del fatto che i piccoli divisori crescono al
crescere dell'ordine in domini di Poincare', dimostrazione del fatto che i
piccoli divisori soddisfano a stime diofantee in insiemi di misura piena.
Schema della dimostrazione del teorema di Siegel (schema iterativo
formale e andamento "quadratico" delle stime).
APPENDICE: SISTEMI INFINITO DIMENSIONALI ED EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI
A) Dispersione nella catena di particelle infinita.
B) Orbite periodiche in equazioni a derivate parziali
Prerequisiti
Conoscenze di base di Meccanica Analitica e di equazioni differenziali ordinarie.
Per gli studenti che provengono dalla locale laurea triennale è sicuramente utile aver seguito il corso di Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni.
Per gli studenti che provengono dalla locale laurea triennale è sicuramente utile aver seguito il corso di Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni.
Metodi didattici
Lezioni frontali.
La frequenza è consigliata.
Ci si potrà avvalere di materiale didattico disponibile su Ariel.
La frequenza è consigliata.
Ci si potrà avvalere di materiale didattico disponibile su Ariel.
Materiale di riferimento
Coerentemente con quanto scritto a proposito del programma, anche questa sezione subirà degli aggiornamenti in futuro.
Il programma dello scorso anno è coperto dalle dispense del Prof. Dario Bambusi, reperibili alla pagina web: http://users.mat.unimi.it/users/bambusi/dinamici_esame.html
Altri testi che può essere utile consultare:
1) V.I. Arnold: Metodi geometrici della teoria delle equazioni
differenziali ordinarie. Roma : Editori Riuniti, 1989.
2) Earl A. Coddington, Norman Levinson: Theory of ordinary
differential equations. New York : McGraw-Hill Book Company,
1955.
3) Zehnder, Eduard: Lectures on dynamical systems. Hamiltonian
vector fields and symplectic capacities. EMS Textbooks in
Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2010
4) Moser, Jurgen. Notes on Dynamical Systems. Courant Lecture Notes
Volume: 12; 2005; 256 pp
5) V.I. Arnold, Andre' Avez:Problemes ergodiques de la mecanique
classique. Paris : Gauthier-Villars, 1967.
6) Anatole Katok, Boris Hasselblatt: Introduction to the modern theory
of dynamical systems. Cambridge : Cambridge University Press,
1995.
Il programma dello scorso anno è coperto dalle dispense del Prof. Dario Bambusi, reperibili alla pagina web: http://users.mat.unimi.it/users/bambusi/dinamici_esame.html
Altri testi che può essere utile consultare:
1) V.I. Arnold: Metodi geometrici della teoria delle equazioni
differenziali ordinarie. Roma : Editori Riuniti, 1989.
2) Earl A. Coddington, Norman Levinson: Theory of ordinary
differential equations. New York : McGraw-Hill Book Company,
1955.
3) Zehnder, Eduard: Lectures on dynamical systems. Hamiltonian
vector fields and symplectic capacities. EMS Textbooks in
Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2010
4) Moser, Jurgen. Notes on Dynamical Systems. Courant Lecture Notes
Volume: 12; 2005; 256 pp
5) V.I. Arnold, Andre' Avez:Problemes ergodiques de la mecanique
classique. Paris : Gauthier-Villars, 1967.
6) Anatole Katok, Boris Hasselblatt: Introduction to the modern theory
of dynamical systems. Cambridge : Cambridge University Press,
1995.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova orale (su appuntamento), durante la quale verrà richiesto di illustrare idee, edfinizioni, risultati (con dimostrazione) del programma dell'insegnamento, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati.
L'esame si intende superato se viene superata la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
L'esame si intende superato se viene superata la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento (via e-mail)
Ufficio 1039, I piano, Dipartimento di Matematica, Via Saldini, 50