Metodi matematici della meccanica quantistica

Il corso si propone di dare un introduzione alla teoria matematica della meccanica quantistica fornendo alcuni dei risultati principali e arrivando rapidamente ad affrontare problemi sul fronte della ricerca.

Matematicamente, l'oggetto del corso sono l'equazione di Schroedinger e la teoria degli operatori di Schroedinger, che sono operatori autoaggiunti negli spazi di Hilbert.

1) Nella prima parte del corso si daranno le nozioni di base di teoria degli operatori e si dimostrerà il principale risultato che permette di garantire l'esistenza della dinamica di un sistema quantistico e lo si applicherà ad alcuni casi significativi, quali l'atomo d'idrogeno.

2) Successivamente si introdurrà la nozione di spettro di un operatore e dopo averne studiato le proprietà principali si introdurrà la distinzione tra spettro discreto e spettro essenziale. Si tratta di una distinzione importante perché lo spettro discreto corrisponde a stati stabili, mentre lo spettro continuo corrisponde a stati instabili.

3) Si tratteranno alcuni sistemi particolari tra cui l'atomo di idrogeno e la dinamica di una particella in un campo elettromagnetico. Tali sistemi saranno anche usati per introdurre alcuni strumenti matematici tipici della meccanica quantistica.

4) Si daranno gli elementi di base della teoria dello scattering che permette di calcolare la dinamica di particelle che incidono su un potenziale localizzato e di capire la dinamica di sistemi non confinati.

5) Teoria delle perturbazioni: dopo un'introduzione sulla teoria classica delle perturbazioni che risale a Schroedinger si andrà a toccare il fronte della ricerca introducendo le tecniche di tipo KAM e pseudodifferenziali per lo studio della dinamica di sistemi dipendenti dal tempo, come particelle soggette ad un campo elettromagnetico variabile nel tempo.