Matematiche elementari dal p.v.s.1
A.A. 2023/2024
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di fornire una introduzione alla teoria assiomatica degli insiemi secondo Zermelo-Fraenkel. Saranno date le nozioni di insieme finito e infinito, e introdotti i numeri naturali, i numeri ordinali e i numeri cardinali, che verranno studiati con le rispettive proprietà e aritmetiche. Inoltre si studieranno varie formulazioni equivalenti dell'assioma della scelta, sottolineando la portanza di tale assioma sia dal punto di vista dei fondamenti che della pratica matematica.
Risultati apprendimento attesi
Acquisizione di consapevolezza della necessità di una teoria rigorosa formale e assiomatica degli insiemi, in contrasto con la trattazione ingenua, usualmente utilizzata come base per la matematica. Capacità critica dell'utilizzo degli assiomi e comprensione del ruolo dei paradossi.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Introduzione: generalità sui linguaggi e sulle teorie del I ordine. Il linguaggio della teoria degli insiemi.
Insiemi astratti. Relazione di appartenenza. Assioma di estensionalità.
Assiomi del vuoto, della coppia, dell'unione e della potenza.
Assioma di separazione. Introduzione delle operazioni tra insiemi. Non esistenza di un insieme universale.
Relazioni e funzioni, famiglie e prodotti di famiglie di insiemi.
Cardinalità. Teorema di Cantor. Teorema di Cantor, Bernstein, Schröder.
Insiemi riflessivi. Successore. Insiemi ereditari. Assioma dell'infinito. L'insieme ω dei numeri naturali.
Principio di induzione, di induzione forte, del minimo. Proprietà di ω. Assiomi di Peano. Operazioni sui naturali.
Insiemi finiti. Assioma di scelta.
Teorema di Ricorsione primitiva su ω. Principio di induzione e ricorsione su buon ordini. Insiemi infiniti. Confronto tra insiemibene ordinati. Ordinali (di Von Neumann). Confronto tra ordinali.
Assioma di rimpiazzamento. Principio del buon ordinamento. Cenni
all'aritmetica ordinale. Cardinali. Cenni all'aritmetica cardinale. Insiemi numerabili.
Equivalenza tra: Assioma della scelta-Lemma di Zorn-Principio del buon ordinamento-Principio di tricotomia-Lemma di Tuckey- Teorema di Tychonoff-Ogni insieme infinito ha la stessa cardinalità del suo quadrato-Ogni insieme puo' essere dotato di una struttura di gruppo.
Introduzione del campo ordinato dei numeri reali via sezioni di Dedekind.
Insiemi astratti. Relazione di appartenenza. Assioma di estensionalità.
Assiomi del vuoto, della coppia, dell'unione e della potenza.
Assioma di separazione. Introduzione delle operazioni tra insiemi. Non esistenza di un insieme universale.
Relazioni e funzioni, famiglie e prodotti di famiglie di insiemi.
Cardinalità. Teorema di Cantor. Teorema di Cantor, Bernstein, Schröder.
Insiemi riflessivi. Successore. Insiemi ereditari. Assioma dell'infinito. L'insieme ω dei numeri naturali.
Principio di induzione, di induzione forte, del minimo. Proprietà di ω. Assiomi di Peano. Operazioni sui naturali.
Insiemi finiti. Assioma di scelta.
Teorema di Ricorsione primitiva su ω. Principio di induzione e ricorsione su buon ordini. Insiemi infiniti. Confronto tra insiemibene ordinati. Ordinali (di Von Neumann). Confronto tra ordinali.
Assioma di rimpiazzamento. Principio del buon ordinamento. Cenni
all'aritmetica ordinale. Cardinali. Cenni all'aritmetica cardinale. Insiemi numerabili.
Equivalenza tra: Assioma della scelta-Lemma di Zorn-Principio del buon ordinamento-Principio di tricotomia-Lemma di Tuckey- Teorema di Tychonoff-Ogni insieme infinito ha la stessa cardinalità del suo quadrato-Ogni insieme puo' essere dotato di una struttura di gruppo.
Introduzione del campo ordinato dei numeri reali via sezioni di Dedekind.
Prerequisiti
L'insegnamento non prevede specifici presequisiti.
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Materiale di riferimento
-G. Lolli, Dagli insiemi ai numeri, Bollati Boringhieri,1994.
-P. R. Halmos, Teoria elementare degli insiemi, Feltrinelli, 1970.
-P. R. Halmos, Teoria elementare degli insiemi, Feltrinelli, 1970.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova orale.
Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento,al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento,al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Giovedì 12.45-14.15, su appuntamento
Studio 1019, I Piano, Dipartimento di Matematica, Via Saldini, 50