Geometria aritmetica
A.A. 2023/2024
Obiettivi formativi
Introdurre lo studente alla teoria delle forme modulari ellittiche ed alle loro applicazioni aritmetiche, in particolare alla teoria del corpo di classe esplicita (Kronecker Jugendtraum) ed alla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente apprenderà fondamentali risultati di modularità, al centro della attuale ricerca in geometria aritmetica.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Il corso si propone di introdurre lo studente alla teoria aritmetica delle forme modulari ellittiche.
In particolare verrà trattata la teoria della moltiplicazione complessa di curve ellittiche e la costruzione esplicita, mediante
valori di funzioni modulari, di generatori delle estensioni abeliane di un campo immaginario quadratico
(cf. Hilbert's 12th Problem e Kronecker's Jugendtraum). Verrà inoltre discusso il Teorema di Modularità di Wiles
(ingrediente fondamentale nella dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat) e la sua applicazione allo studio
dell'aritmetica di curve ellittiche (cf. Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture).
In particolare verrà trattata la teoria della moltiplicazione complessa di curve ellittiche e la costruzione esplicita, mediante
valori di funzioni modulari, di generatori delle estensioni abeliane di un campo immaginario quadratico
(cf. Hilbert's 12th Problem e Kronecker's Jugendtraum). Verrà inoltre discusso il Teorema di Modularità di Wiles
(ingrediente fondamentale nella dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat) e la sua applicazione allo studio
dell'aritmetica di curve ellittiche (cf. Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture).
Prerequisiti
Elementi di Teoria di Galois e Teoria Algebrica dei Numeri (cf. Algebra 3).
Elementi di Analisi Complessa (cf. Analisi Complessa, Prima Parte).
Elementi di Analisi Complessa (cf. Analisi Complessa, Prima Parte).
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Materiale di riferimento
Verranno rese disponibili note delle lezioni. In aggiunta, si invita lo studente a consultare i seguenti testi.
Shimura, Goro: Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions, Princeton University Press.
Lang, Serge: Elliptic functions, Springer.
Diamond, Fred and Im, John: Modular Forms and Modular Curves, in Seminar on Fermat's Last Theorem.
Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer.
Shimura, Goro: Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions, Princeton University Press.
Lang, Serge: Elliptic functions, Springer.
Diamond, Fred and Im, John: Modular Forms and Modular Curves, in Seminar on Fermat's Last Theorem.
Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Homeworks e seminario su un argomento assegnato dal docente.
Siti didattici
Docente/i