Calcolo stocastico ed applicazioni

Obiettivo dell'insegnamento è quello di fornire un'introduzione ai metodi del calcolo stocastico, con particolare riferimento al calcolo alla Ito.
Partendo dalle definizioni e risultati fondamentali della teoria dei processi stocastici, con particolare riferimento alla classe dei processi di Markov, e quindi al processo di Wiener, lo studente viene guidato alla formulazione di sistemi di equazioni differenziali stocastiche poggiando sul calcolo integrale alla Ito. Viene fornita una costruzione dell'integrale di Ito, sia in L2 sia come limite in probabilità. Il corso si dedica anche allo studio delle proprietà di martingalità del processo di Ito che seguono a cascata da quelle del processo di Wiener. Di particolare interesse è l'analisi delle soluzioni di sistemi di equazioni differenziali alla Ito ed ai legami con le PDE.
Il laboratorio è concepito in modo da guidare ciascuno studente verso la capacità del fare (learning by doing), attraverso la simulazione (computazionale) di processi stocastici fondamentali, la soluzione di sistemi di equazioni differenziali stocastiche, e la risoluzione numerica di problemi deterministici di equazioni alle derivate parziali con metodi probabilistici. Particolare attenzione è data alle applicazioni alla Finanza, alla Biologia ed alla Ingegneria.

Lo studente impara a trattare e discutere le principali proprietà dei processi stocastici di Markov, e del processo di Wiener; è capace di cogliere le principali proprietà probabilistiche relative alla costruzione dell'integrale di Ito, in particolare relative alla marginalità. Conosce le principali proprietà delle equazioni differenziali alla Ito e le relazioni con le PDE. Vede dei primi esempi di modellizzazione stocastica dell'aleatorietà in sistemi già noti da un punto di vista deterministico. Sa simulare sistemi di equazioni differenziali stocastiche e quantificare le proprietà delle soluzioni attraverso delle procedure statistiche.