Calcolo delle variazioni
A.A. 2023/2024
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di fornire agli studenti un'introduzione alla teoria moderna del Calcolo delle Variazioni, che rappresenta uno strumento potente per studiare svariati problemi della matematica, della fisica e delle scienze applicate in genere (per esempio: esistenza di geodetiche, superfici di area minima, soluzioni periodiche per sistemi di N corpi; esistenza di soluzioni per equazioni alle derivate parziali nonlineari di tipo ellittico).
Risultati apprendimento attesi
Apprendimento delle nozioni di base e delle tecniche nella teoria del Calcolo delle Variazioni: minimizzazione, deformazioni, problemi di compattezza, relazione tra topologia e punti critici. Studio dei legami tra la teoria dei punti critici e equazioni alle derivate parziali.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Verranno svolte lezioni sincronee su piattaforma Zoom, e la loro registrazione sarà eventualmente disponibile sul sito Ariel in base alle disposizioni di Ateneo. Le modalità e i criteri per partecipare a tali lezioni saranno pubblicate per tempo nelle pagine Ariel dell'insegnamento, come pure tutto il materiale di cui sopra e gli avvisi relativi a qualsiasi aggiornamento legato all'evoluzione della normativa imposta dalla situazione emergenziale.
Gli eventuali esami a distanza saranno svolti seguendo le modalità illustrate sul portale dell'Ateneo. L'esame avrà la medesima struttura di quella di presenza.
Gli eventuali esami a distanza saranno svolti seguendo le modalità illustrate sul portale dell'Ateneo. L'esame avrà la medesima struttura di quella di presenza.
Programma
Programma Preliminare, suscettibile di modifiche (non sostanziali)
- Introduzione al calcolo delle variazioni: cenni storici al problema isoperimetrico. La Brachistocrona e il controesempio di Weiestrass
- Il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni: richiami su spazi funzionali e sulla derivazione di mappe. L'equazione di Eulero. Richiami sugli spazi di Sobolev. Ottimizzazione in spazi di Banach: funzioni semi-continue inferiormente e teoremi dell'esistenza di minimi su insiemi debolmente chiusi e per funzionali coercivi. Applicazioni a equazioni differenziali e sistemi.
- Operatori differenziali ellittici del second'ordine. Minimizzazione vincolata. Il teorema della funzione implicita. Il funzionale energia e i moltiplicatori di Lagrange. Primo autovalore del Laplaciano. Applicazione della minimizzazione vincolata all'equazione polinomiale con crescita sottocritica.
- Teoremi di minimax. Punti critici di funzionali e topologia dei sottolivelli: il lemma di deformazione. La condizione di Palais-Smale. Pseudogradienti. Esistenza di pseudo gradienti per funzionali C^1. Il Teorema del Passo di Montagna. Applicazioni all'esistenza di soluzioni per equazioni alle derviate parziali nonlineari
- Problemi con simmetrie. Il grado topologico e il grado di Leray Schauder.
Linking topologico. Funzionali pari: la teoria di Ljusternik-Schnirelmann. Il teorema del Passo di Montagna Simmetrico.
- Problemi con perdita di compattezza: problemi ellittici con crescita critica. La miglior costante di immersione di Sobolev Identità di Pohozaev. Il risultato di Brezis e Nirenberg.
- Introduzione al calcolo delle variazioni: cenni storici al problema isoperimetrico. La Brachistocrona e il controesempio di Weiestrass
- Il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni: richiami su spazi funzionali e sulla derivazione di mappe. L'equazione di Eulero. Richiami sugli spazi di Sobolev. Ottimizzazione in spazi di Banach: funzioni semi-continue inferiormente e teoremi dell'esistenza di minimi su insiemi debolmente chiusi e per funzionali coercivi. Applicazioni a equazioni differenziali e sistemi.
- Operatori differenziali ellittici del second'ordine. Minimizzazione vincolata. Il teorema della funzione implicita. Il funzionale energia e i moltiplicatori di Lagrange. Primo autovalore del Laplaciano. Applicazione della minimizzazione vincolata all'equazione polinomiale con crescita sottocritica.
- Teoremi di minimax. Punti critici di funzionali e topologia dei sottolivelli: il lemma di deformazione. La condizione di Palais-Smale. Pseudogradienti. Esistenza di pseudo gradienti per funzionali C^1. Il Teorema del Passo di Montagna. Applicazioni all'esistenza di soluzioni per equazioni alle derviate parziali nonlineari
- Problemi con simmetrie. Il grado topologico e il grado di Leray Schauder.
Linking topologico. Funzionali pari: la teoria di Ljusternik-Schnirelmann. Il teorema del Passo di Montagna Simmetrico.
- Problemi con perdita di compattezza: problemi ellittici con crescita critica. La miglior costante di immersione di Sobolev Identità di Pohozaev. Il risultato di Brezis e Nirenberg.
Prerequisiti
Argomenti trattati negli insegnamenti di Analisi Reale ed Equazioni alle Derivate Parziali.
Consigliato: Elementi di Analisi Funzionale.
Consigliato: Elementi di Analisi Funzionale.
Metodi didattici
Lezioni tradizionali in aula.
Materiale di riferimento
Ambrosetti, A., Malchiodi, A., Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problems, Cambridge University Press, 2007
Struwe, M., Variational Methods, Springer, 2000
Struwe, M., Variational Methods, Springer, 2000
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di un'unica prova orale (45 minuti) tesa a verificare le conoscenze teoriche acquisite nel corso e la capacita' di svolgere esercizi di tipologia simile a quelli proposti durante il corso. Saranno valutate sia la padronanza nella esposizione di enunciati e dimostrazioni dei risultati presentati a lezione, che la capacità di sintesi e contestualizzazione della teoria appresa.
Siti didattici
Docente/i