Argomenti avanzati di finanza matematica

I Richiami del corso di Finanza Matematica 1
Il principio di non arbitraggio. La valutazione delle opzioni. Completezza e incompletezza del mercato. I teoremi fondamentali di valutazione. Il prezzo di super-replicazione.

II Cenni di Analisi convessa
Spazi duali e topologie deboli. Cono polare e bipolare, teorema bipolare. Funzioni convesse, funzioni coniugate. Teorema di Fenchel-Moreau. Lo spazio ba, duale topologico di L^infty, Il teorema di Yosida-Hewitt. Il teorema di Penot-Volle sulle funzioni quasi-convesse e lsc. Il teorema di Namioka-Klee e la sua estensione a mappe convesse e monotone.

III Misure di Rischio
Misure di Rischio (MdR) monetarie, MdR coerenti e convesse. Proprietà e interpretazione finanziaria. Implicazioni fra le diverse proprietà delle MdR. Proprietà "cash additive": condizione necessaria e sufficiente per la rappresentazione delle MdR attraverso gli insiemi di accettazione. Proprietà di ρ_A e A_ρ. Lipschitz continuità.
MdR quasi-convesse e cash-subadditive. Proprietà e rappresentazione attraverso la famiglia A=(A_m) d'insiemi di accettazione. Proprietà di ρ_A e A_ρ.
Esempi: V@R, Worst RM, MdR entropica, certo equivalente.
Rappresentazione duale delle MdR quasi-convesse e monotone utilizzando il teorema di Penot-Volle. Rappresentazione duale delle MdR coerenti e convesse utilizzando il teorema di Fenchel-Moreau.
Equivalenti condizioni di continuità per ρ monotone e quasi-convesse definite su L^infty. Continuità dall'alto e dal basso. La proprietà di Lebesgue e la rappresentazione con il max. Formula alternativa per la funzione di penalità. Analisi della MdR "worst" e della MdR entropica. Formulazione variazionale della MdR entropica.
Rappresentazione delle MdR coerenti attraverso il teorema di dualità per il prezzo di super replicazione.
MdR condizionali e dinamiche. Proprietà di regolarità. Rappresentazione duale delle MdR condizionali (Scandolo-Detlefsen). Consistenza temporale. Spazi e cuore di Orlicz: definizioni e proprietà. Misure di rischio definite su spazi di Orlicz e loro rappresentazione duale.

IV Sul mercato finanziario
Modello di mercato finanziario generale. Il cono K dei claims replicabili e il cono C dei claims super replicabili e limitati. Misure "separanti" M (misure di martingala) e loro caratterizzazione. Le condizioni di NA, NFL, NFLVR.

Una selezione fra i seguenti argomenti:

A) Massimizzazione dell'utilità attesa in mercati incompleti
Le diverse ipotesi sulla funzione d'utilità u e conseguenze sulla sua funzione coniugata. Esempi.
Funzioni coniugate concave.
Il problema duale del problema di massimizzazione dell'utilità attesa.
Il problema di massimizzazione dell'utilità attesa con vincolo di bilancio determinato da una sola probabilità Q, su L^infty e su L^1. Misure a entropia finita. Esempi di calcolo di (U_Q)(x) e uguaglianza fra (U_Q)(x), (U^Q)(x) e I(x,Q).
Sul funzionale U dell'utilità ottimale.
La misura Minimax. Il funzionale coniugato del funzionale integrale. Cenni ai teoremi di Rockafellar e di dualità di Fenchel. Il teorema minimax.
Condizioni equivalenti a U(x)Rappresentazione duale del problema di massimizzazione dell'utilità in mercati incompleti. Esempi: minimal variance, minimal entropy, minimal infty norm.
Relazione di dualità con contingent claims. La rappresentazione duale dell'entropia relativa. Interpretazione finanziaria dell'entropia relativa.
Valutazioni delle opzioni attraverso le misure minimax. Il "Fair price" di Davis.
Il certo equivalente dinamico e proprietà.
Il prezzo d'indifferenza (seller e buyer) e relazione con le misure di rischio. Proprietà del prezzo d'indifferenza e sua rappresentazione duale.

B) Misure di rischio sistemico
Definizioni di misure di rischio sistemico e funzione di aggregazione, rappresentazione duale e soluzione duale ottimale, misure di probabilità eque, equità dell'allocazione (aleatoria) e allocazioni del rischio eque, l'allocazione ottimale, interpretazione sulla base della massima utilità attesa.

C) Robustezza in finanza matematica e teoria del Trasporto Ottimo (TO).
Condizioni di non arbitraggio e dualità di super-hedging nel contesto robusto e pathwise. Cenni alla teoria del Trasporto Ottimo con vincolo di martingala, applicazioni alla dualità di super-hedging pathwise. Generalizzazione del TO di martingala con penalizzazioni nella forma di divergenze.

D) Cenni su Collective Arbitrage e Collective Super-replication