Argomenti avanzati di calcolo stocastico
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
Lo scopo dell'insegnamento è di approfondire la conoscenza del calcolo e dell'analisi stocastica. In una prima parte verrà esteso lo studio dell'integrale stocastico dal moto Browniano a martingale locali continue qualsiasi. Inoltre, sulla base di questa estensione, verranno dimostrati altri importanti risultati tra cui i seguenti: versione generale del teorema di Girsanov, tempi locali e formula di Tanaka come estensione della formula di Ito, e soprattutto problemi di filtraggio stocastico. Nella parte finale del corso sarà approfondito il problema del controllo ottimo con osservazione completa e parziale, inizialmente nel contesto del tempo discreto (cosiddetti "Markov decision processes") con eventuali estensioni al caso di tempo continuo.
Risultati apprendimento attesi
Conoscenza approfondita del calcolo stocastico per semimartingale continue. Teoria del filtraggio stocastico a tempo discreto e continuo. Markov decision processes, anche con osservazione parziale.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Parte I. Richiami di teoria delle martingale continue e processi a variazione finita.
Parte II. Integrale stocastico rispetto a semimartingale continue, formula di Ito, teorema di Girsanov generalizzato.
Parte III. Formula di Ito-Tanaka-Meyer, tempi locali di semimartingale continue, formula di densità d'occupazione.
Parte IV. Il problema del filtraggio stocastico a tempo discreto e continuo. Le equazioni di Zakai e di Kushner-Stratonovich. Il filtro di Kalman.
Parte V. Controllo ottimo a tempo discreto (Markov decision processes). Equazioni di programmazione dinamica. Controllo ottimo con osservazione parziale a tempo discreto.
Parte VI. (Se ci sarà tempo) Introduzione al controllo ottimo con osservazione parziale a tempo continuo.
Parte II. Integrale stocastico rispetto a semimartingale continue, formula di Ito, teorema di Girsanov generalizzato.
Parte III. Formula di Ito-Tanaka-Meyer, tempi locali di semimartingale continue, formula di densità d'occupazione.
Parte IV. Il problema del filtraggio stocastico a tempo discreto e continuo. Le equazioni di Zakai e di Kushner-Stratonovich. Il filtro di Kalman.
Parte V. Controllo ottimo a tempo discreto (Markov decision processes). Equazioni di programmazione dinamica. Controllo ottimo con osservazione parziale a tempo discreto.
Parte VI. (Se ci sarà tempo) Introduzione al controllo ottimo con osservazione parziale a tempo continuo.
Prerequisiti
1) Nozioni avanzate di probabilità e processi stocastici.
2) Integrale stocastico ed equazioni differenziali stocastiche rispetto al moto Browniano.
2) Integrale stocastico ed equazioni differenziali stocastiche rispetto al moto Browniano.
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Materiale di riferimento
1) J.-F. Le Gall: "Brownian Motion, Martingales and Stochastic Calculus", Springer, 2016.
2) D. Revuz, M. Yor: "Brownian Motion and Continuous Martingales", Springer, 1999.
3) A. Bain, D. Crisan. Fundamentals of stochastic filtering, Springer, 2009.
4) Dispense del docente, disponibili sul sito web del corso.
Altri riferimenti potrebbero essere segnalati durante il corso.
2) D. Revuz, M. Yor: "Brownian Motion and Continuous Martingales", Springer, 1999.
3) A. Bain, D. Crisan. Fundamentals of stochastic filtering, Springer, 2009.
4) Dispense del docente, disponibili sul sito web del corso.
Altri riferimenti potrebbero essere segnalati durante il corso.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Orale sul programma del corso. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
MAT/06 - PROBABILITA E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 6
Esercitazioni: 12 ore
Lezioni: 35 ore
Lezioni: 35 ore
Docente:
Fuhrman Marco Alessandro
Turni:
Turno
Docente:
Fuhrman Marco AlessandroDocente/i
Ricevimento:
Lunedì 10:30-13:30 (con preavviso, salvo impegni accademici)
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, studio 1017. Il ricevimento si svolge in remoto in caso di condizioni di emergenza sanitaria.